统计学基础：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：45, 59, 50, 39, 18, 54, 20。

n = 7

s =

2.描述统计困难

考试成绩服从正态分布，平均数为 170，标准差为 15。求成绩 147.5 的 z 分数 z。

μ = 170σ = 15x = 147.5

z =

3.概率中等

对图中的分布，求 X 的标准差 σ。

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.35, 0.15, 0.15, 0.35

σ =

4.概率困难

一局游戏的参与费用为 €2。你以概率 0.15 赢得 €8，以概率 0.02 赢得 €100；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。

赌注 = €2€8: p = 0.15€100: p = 0.02

E(G) = €

5.正态分布中等

袋装重量服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。介于 245 和 254.25 g 之间的比例是多少？P 以小数表示。

μ = 250σ = 5x₁ = 245x₂ = 254.25

P =

6.正态分布困难

一组人中男性的身高 X 与女性的身高 Y相互独立且服从正态分布：X 的均值为 180 cm，标准差为 10 cm，Y 的均值为 170 cm，标准差为 12 cm。求 X 大于 Y 的概率 P。z 取两位小数。

μ_X = 180 cm, σ_X = 10 cmμ_Y = 170 cm, σ_Y = 12 cm

P =

7.置信区间中等

基于 64 个观测值且 σ 已知的均值 99% 置信区间，其误差范围为 10。如果同一研究改用 128 个观测值，误差范围 E₂ 是多少？

99%n₁ = 64E₁ = 10n₂ = 128

E₂ =

8.置信区间困难

总体标准差为 23。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 3？

σ = 23E = 399%

n =

9.假设检验与置信区间中等

16 名学生的样本平均分为 43.4，样本标准差为 12。求 H₀: μ = 50 的检验统计量 t。

μ₀ = 50x̄ = 43.4s = 12n = 16

t =

10.假设检验与置信区间困难

样本至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 2.5？标准差为 12。求最小样本量 n。

σ = 12E = 2.599%

n =

11.线性回归与相关中等

表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数和 y = 考试成绩。求最小二乘直线的决定系数 r²。

n = 6

r² =

12.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。预测 x = 4.5 时的 ŷ。

n = 5x = 4.5

ŷ =

3溶液

1.描述统计

答案: s = 16.14

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 285/7 = 40.71

离差平方

Σ(x − x̄)² = 4.286² + 18.29² + 9.286² + (−1.714)² + (−22.71)² + 13.29² + (−20.71)² = 1563

标准差

s = √(1563/6) = 16.14

答案

s = 16.14

2.描述统计

答案: z = −1.5

标准化

z = (147.5 − 170)/15 = −1.5

答案

z = −1.5

3.概率

答案: σ = 1.285

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 1·0.35 + 2·0.15 + 3·0.15 + 4·0.35 = 2.5

平方的均值

E(X²) = 1·0.35 + 4·0.15 + 9·0.15 + 16·0.35 = 7.9

方差

Var(X) = 7.9 − 2.5² = 1.65

σ = √1.65 = 1.285

答案

σ = 1.285

4.概率

答案: E(G) = 1.2 €

净结果

G: 6 (p = 0.15), 98 (p = 0.02), −2 (p = 0.83)

期望值

E(G) = 6·0.15 + 98·0.02 − 2·0.83 = 1.2 €

答案

E(G) = 1.2 €

正值表示平均而言你会赢钱。

5.正态分布

答案: P = 0.6437

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

z 分数

z₁ = (245 − 250)/5 = −1

z₂ = (254.25 − 250)/5 = 0.85

中间面积

P = Φ(0.85) − Φ(−1) = 0.8023 − 0.1587 = 0.6437

答案

P = 0.6437

6.正态分布

答案: P = 0.7389

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

差的分布

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15.62 cm

标准化

z = (0 − 10)/15.62 = −0.64

概率

P = 1 − Φ(−0.64) = 0.7389

答案

P = 0.7389

7.置信区间

答案: E₂ = 7.071

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

误差范围之比

E₂/E₁ = (2.576/2.576)·√(64/128) = 0.7071

新的误差范围

E₂ = 10·0.7071 = 7.071

答案

E₂ = 7.071

8.置信区间

答案: n = 391

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

解出 n

n = (2.576·23/3)² = 390

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 391

答案

n = 391

9.假设检验与置信区间

答案: t = −2.2

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 12/√16 = 12/4 = 3

检验统计量

t = (43.4 − 50)/3 = −2.2

答案

t = −2.2

t_{0.025; df = 15} = 2.131

|t| > 2.131，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

10.假设检验与置信区间

答案: n = 153

解出 n

n = (2.576·12/2.5)² = 152.9

向上取整

n = 153

答案

n = 153

11.线性回归与相关

答案: r² = 0.9433

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 374/6 = 62.33

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 164

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 407.3

决定系数

r² = 164²/(70·407.3) = 0.9433

答案

r² = 0.9433

y 的变异中约有 94.33% 可由该直线解释。

12.线性回归与相关

答案: ŷ = 48.95

均值

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 255/5 = 51

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 41

回归直线

b = 41/10 = 4.1

a = 51 − 4.1·5 = 30.5

ŷ = 30.5 + 4.1·x

预测

ŷ = 30.5 + 4.1·4.5 = 48.95

答案

ŷ = 48.95

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