描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：50, 54, 27, 48, 56, 45, 21。
n = 7
s =
2.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 70，标准差为 5。数值高于 72 的比例 P 是多少？
μ = 70σ = 5x = 72
P =
3.概率中等
从 14 人中选出 5 人组成委员会，有多少种选法 N？顺序无关。
n = 14k = 5
N =
4.概率困难
一局游戏的参与费用为 €2。你以概率 0.15 赢得 €10，以概率 0.05 赢得 €100；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。
赌注 = €2€10: p = 0.15€100: p = 0.05
E(G) = €
5.正态分布中等
带行李的乘客的质量相互独立，服从均值 85 kg、标准差 12 kg 的正态分布。求其中 8 个的总质量超过 747.9 kg 的概率 P。z 取两位小数。
μ = 85 kgσ = 12 kgn = 8> 747.9 kg
P =
6.正态分布困难
考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。求数值 x，使得有 90% 的数据低于它（第 90 百分位数）。
μ = 65σ = 10P = 90%
x = 分
7.置信区间中等
测量 12 名患者治疗前后的血压。差值 d = 治疗前 − 治疗后 (mmHg) 的均值为 8.5，标准差为 4.2。 求平均差值的 90% 置信区间的下限。
n = 12d̄ = 8.5sd = 4.290%t(11) = 1.796
下限 = mmHg
8.置信区间困难
15 根机加工轴的直径样本标准差为 7 µm。假设直径服从正态分布，求总体标准差 95% 置信区间的上限 σ。df = 14 时，χ² 分布有 2.5% 位于 5.629 以下，2.5% 位于 26.119 以上。
n = 15s = 7 µmχ² = 5.629, 26.119
σ = µm
9.假设检验与置信区间中等
81 名学生的样本平均分为 493.1，样本标准差为 20。求 H₀: μ = 500 的检验统计量 t。
μ₀ = 500x̄ = 493.1s = 20n = 81
t =
10.假设检验与置信区间困难
样本至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 2？标准差为 4。求最小样本量 n。
σ = 4E = 295%
n =
11.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。
n = 5Σx = 15Σy = 123Σx² = 55Σy² = 3041Σxy = 361
r =
12.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 159？
n = 6ŷ = 159
x =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 13.59
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 301/7 = 43
离差平方
Σ(x − x̄)² = 7² + 11² + (−16)² + 5² + 13² + 2² + (−22)² = 1108
标准差
s = √(1108/6) = 13.59
答案
s = 13.59
2.描述统计
答案: P = 0.3446
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = 0.4
标准正态分布表
Φ(0.4) = 0.6554
P = 1 − 0.6554 = 0.3446
答案
P = 0.3446
3.概率
答案: N = 2002
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
组合
C(14, 5) = (14·13·12·11·10)/(5·4·3·2·1) = 2002
答案
N = 2002
4.概率
答案: E(G) = 4.5 €
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
净结果
G: 8 (p = 0.15), 98 (p = 0.05), −2 (p = 0.8)
期望值
E(G) = 8·0.15 + 98·0.05 − 2·0.8 = 4.5 €
答案
E(G) = 4.5 €
正值表示平均而言你会赢钱。
5.正态分布
答案: P = 0.02275
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
总和的分布
μT = 680 kg, σT = 12·√8 = 33.94 kg
标准化
z = (747.9 − 680)/33.94 = 2
概率
P = 1 − Φ(2) = 0.02275
答案
P = 0.02275
6.正态分布
答案: x = 77.82 分
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.9 → z = 1.282
换算回 x
x = 65 + 1.282·10 = 77.82 分
答案
x = 77.82 分
7.置信区间
答案: 下限 = 6.322 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
临界值
df = 11, t = 1.796
误差范围
E = 1.796·4.2/√12 = 2.178
区间
8.5 ± 2.178 → [6.322, 10.68]
答案
下限 = 6.322 mmHg
8.置信区间
答案: σ = 11.04 µm
方差的区间：(n − 1)s²/σ² 服从自由度为 n − 1 的 χ² 分布。σ² 的 95% 区间从 (n − 1)s² 除以上侧 χ² 值（其上方占 2.5%）到 (n − 1)s² 除以下侧 χ² 值（其下方占 2.5%）；σ 的区间是这两个限值的平方根。它关于 s 不对称。
平方和
(n − 1)s² = 14·7² = 686
σ² 的限值
686/26.119 = 26.26
686/5.629 = 121.9
σ 的限值
σ = √121.9 = 11.04 µm
答案
σ = 11.04 µm
σ 的 95% 区间：[5.125, 11.04] µm。
9.假设检验与置信区间
答案: t = −3.105
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 20/√81 = 20/9 = 2.222
检验统计量
t = (493.1 − 500)/2.222 = −3.105
答案
t = −3.105
t0.025; df = 80 = 1.99
|t| > 1.99，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。
10.假设检验与置信区间
答案: n = 16
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
解出 n
n = (1.96·4/2)² = 15.37
向上取整
n = 16
答案
n = 16
11.线性回归与相关
答案: r = −0.6489
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
中心化后的和
Sxy = 361 − 15·123/5 = −8
Sxx = 55 − 15²/5 = 10
Syy = 3041 − 123²/5 = 15.2
相关系数
r = −8/√(10·15.2) = −0.6489
答案
r = −0.6489
12.线性回归与相关
答案: x = 27.43
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 147/6 = 24.5
ȳ = 848/6 = 141.3
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 951
回归直线
b = 951/157.5 = 6.038
a = 141.3 − 6.038·24.5 = −6.6
ŷ = −6.6 + 6.038·x
解出 x
x = (159 − (−6.6))/6.038 = 27.43
答案
x = 27.43
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1