描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：52, 11, 46, 21, 56, 17。
n = 6
s =
2.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 500，标准差为 100。求成绩 400 的 z 分数 z。
μ = 500σ = 100x = 400
z =
3.概率中等
对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.25, 0.25, 0.35, 0.15
Var(X) =
4.概率困难
一份测试有 8 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.3，相互独立。恰好答对 5 题的概率 P 是多少？
n = 8p = 0.3k = 5
P =
5.正态分布中等
拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.9706。求 z，保留两位小数。
A = 0.9706
z =
6.正态分布困难
成年男性的身高服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。求数值 x，使得有 97.5% 的数据低于它（第 97.5 百分位数）。
μ = 178σ = 7P = 97.5%
x = cm
7.置信区间中等
比较两种手机型号的电池续航时间。型号 1：80 部手机，均值 78 h，已知标准差 13 h。型号 2：40 部手机，均值 64 h，已知标准差 19 h。 求 μ₁ − μ₂ 的 90% 置信区间的误差范围 E。
n₁ = 80x̄₁ = 78 hσ₁ = 13 hn₂ = 40x̄₂ = 64 hσ₂ = 19 h90%
E = h
8.置信区间困难
总体标准差为 6。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 1？
σ = 6E = 195%
n =
9.假设检验与置信区间中等
49 名学生的样本平均分为 54.86，样本标准差为 20。求 H₀: μ = 50 的检验统计量 t。
μ₀ = 50x̄ = 54.86s = 20n = 49
t =
10.假设检验与置信区间困难
100 次测量的样本均值为 200.2。总体标准差为 4。求均值 95% 置信区间的下限 L。
x̄ = 200.2σ = 4n = 10095%
L =
11.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。
n = 5Σx = 25Σy = 343Σx² = 135Σy² = 23919Σxy = 1775
r =
12.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (8, 77)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 5(8, 77)
e =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 19.69
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 203/6 = 33.83
离差平方
Σ(x − x̄)² = 18.17² + (−22.83)² + 12.17² + (−12.83)² + 22.17² + (−16.83)² = 1939
标准差
s = √(1939/5) = 19.69
答案
s = 19.69
2.描述统计
答案: z = −1
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (400 − 500)/100 = −1
答案
z = −1
3.概率
答案: Var(X) = 1.04
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 1·0.25 + 2·0.25 + 3·0.35 + 4·0.15 = 2.4
平方的均值
E(X²) = 1·0.25 + 4·0.25 + 9·0.35 + 16·0.15 = 6.8
方差
Var(X) = 6.8 − 2.4² = 1.04
答案
Var(X) = 1.04
4.概率
答案: P = 0.04668
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
二项分布公式
P(X = 5) = 56·0.35·0.73 = 56·0.00243·0.343 = 0.04668
答案
P = 0.04668
5.正态分布
答案: z = −1.89
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
z 左侧的面积
Φ(z) = 1 − 0.9706 = 0.0294
反向查 z 表
在表中找到 0.0294，读出 z。
z = −1.89
答案
z = −1.89
6.正态分布
答案: x = 191.7 cm
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.975 → z = 1.96
换算回 x
x = 178 + 1.96·7 = 191.72 cm
答案
x = 191.72 cm
7.置信区间
答案: E = 5.49 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
点估计
x̄₁ − x̄₂ = 78 − 64 = 14
标准误
SE = √(13²/80 + 19²/40) = 3.337
误差范围
E = 1.645·3.337 = 5.49
答案
E = 5.49 h
区间不包含 0，所以两个均值有显著差异。
8.置信区间
答案: n = 139
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (1.96·6/1)² = 138.3
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 139
答案
n = 139
9.假设检验与置信区间
答案: t = 1.701
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 20/√49 = 20/7 = 2.857
检验统计量
t = (54.86 − 50)/2.857 = 1.701
答案
t = 1.701
t0.025; df = 48 = 2.011
|t| < 2.011，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
10.假设检验与置信区间
答案: L = 199.4
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
误差范围
E = 1.96·4/√100 = 0.784
区间端点
L = 200.2 − 0.784 = 199.4
答案
L = 199.4
11.线性回归与相关
答案: r = 0.9618
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
中心化后的和
Sxy = 1775 − 25·343/5 = 60
Sxx = 135 − 25²/5 = 10
Syy = 23919 − 343²/5 = 389.2
相关系数
r = 60/√(10·389.2) = 0.9618
答案
r = 0.9618
12.线性回归与相关
答案: e = 3.2
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 303/5 = 60.6
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 176
回归直线
b = 176/40 = 4.4
a = 60.6 − 4.4·5 = 38.6
ŷ = 38.6 + 4.4·x
预测值
ŷ = 38.6 + 4.4·8 = 73.8
残差
e = 77 − 73.8 = 3.2
答案
e = 3.2
该点位于直线上方。
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