描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：48, 51, 52, 37, 19。
n = 5
s =
2.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 170，标准差为 5。求成绩 176.3 的 z 分数 z。
μ = 170σ = 5x = 176.3
z =
3.概率中等
从 10 人中选出 2 人组成委员会，有多少种选法 N？顺序无关。
n = 10k = 2
N =
4.概率困难
一局游戏的参与费用为 €1。你以概率 0.15 赢得 €5，以概率 0.02 赢得 €50；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。
赌注 = €1€5: p = 0.15€50: p = 0.02
E(G) = €
5.正态分布中等
拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.9207。求 z，保留两位小数。
A = 0.9207
z =
6.正态分布困难
孔径 D 服从均值 25.05 mm、标准差 0.02 mm 的正态分布。轴径 d 独立，服从均值 25 mm、标准差 0.02 mm 的正态分布。随机选取的一根轴在 D − d > 0 时能装入。求它能装入的概率 P。z 取两位小数。
孔: μ = 25.05 mm, σ = 0.02 mm轴: μ = 25 mm, σ = 0.02 mm
P =
7.置信区间中等
一个包含 16 个个体的样本，均值为 67.5，标准差 s = 14。总体近似服从正态分布。 求均值的 99% 置信区间的下限。
n = 16x̄ = 67.5s = 1499%t(15) = 2.947
下限 =
8.置信区间困难
对两种肥料进行试验。地块组 1：9 块地，平均产量 29.5 kg，标准差 9 kg。地块组 2：5 块地，均值 33.5 kg，标准差 7.5 kg。假设方差相等（合并 t，df = n₁ + n₂ − 2）。 求 μ₁ − μ₂ 的 95% 置信区间的下限。
n₁ = 9x̄₁ = 29.5s₁ = 9n₂ = 5x̄₂ = 33.5s₂ = 7.595%t(12) = 2.179
下限 = kg
9.假设检验与置信区间中等
两条生产线生产同一种零件。生产线 1：40 个零件的样本平均长度为 42.5 mm，该生产线的已知标准差为 8 mm。生产线 2：100 个零件的样本均值为 45.4 mm，已知标准差为 13 mm。取差值为 x̄₁ − x̄₂（生产线 1 减生产线 2），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 z。
n₁ = 40x̄₁ = 42.5 mmσ₁ = 8 mmn₂ = 100x̄₂ = 45.4 mmσ₂ = 13 mm
z =
10.假设检验与置信区间困难
16 次测量的样本均值为 125。总体标准差为 20。求均值 90% 置信区间的上限 U。
x̄ = 125σ = 20n = 1690%
U =
11.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。
n = 6Σx = 36Σy = 367Σx² = 286Σy² = 25035Σxy = 2625
r =
12.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (5.5, 75)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 6(5.5, 75)
e =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 13.87
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 207/5 = 41.4
离差平方
Σ(x − x̄)² = 6.6² + 9.6² + 10.6² + (−4.4)² + (−22.4)² = 769.2
标准差
s = √(769.2/4) = 13.87
答案
s = 13.87
2.描述统计
答案: z = 1.25
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (176.3 − 170)/5 = 1.25
答案
z = 1.25
3.概率
答案: N = 45
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
组合
C(10, 2) = (10·9)/(2·1) = 45
答案
N = 45
4.概率
答案: E(G) = 0.75 €
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
净结果
G: 4 (p = 0.15), 49 (p = 0.02), −1 (p = 0.83)
期望值
E(G) = 4·0.15 + 49·0.02 − 1·0.83 = 0.75 €
答案
E(G) = 0.75 €
正值表示平均而言你会赢钱。
5.正态分布
答案: z = −1.41
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
z 左侧的面积
Φ(z) = 1 − 0.9207 = 0.0793
反向查 z 表
在表中找到 0.0793，读出 z。
z = −1.41
答案
z = −1.41
6.正态分布
答案: P = 0.9616
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
差的分布
μ = 25.05 − 25 = 0.05 mm, σ = 0.02828 mm
标准化
z = (0 − 0.05)/0.02828 = −1.77
概率
P = 1 − Φ(−1.77) = 0.9616
答案
P = 0.9616
7.置信区间
答案: 下限 = 57.19
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 15, t = 2.947
误差范围
E = 2.947·14/√16 = 10.31
区间
67.5 ± 10.31 → [57.19, 77.81]
答案
下限 = 57.19
8.置信区间
答案: 下限 = −14.37 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
合并标准差
sp² = (8·9² + 4·7.5²)/12 = 72.75
sp = 8.529
误差范围
E = 2.179·8.529·√(1/9 + 1/5) = 10.37
区间
−4 ± 10.37 → [−14.37, 6.366]
答案
下限 = −14.37 kg
9.假设检验与置信区间
答案: z = −1.599
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
差值的标准误
SE = √(8²/40 + 13²/100) = √3.29 = 1.814
检验统计量
z = (42.5 − 45.4)/1.814 = −1.599
答案
z = −1.599
|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
10.假设检验与置信区间
答案: U = 133.2
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
误差范围
E = 1.645·20/√16 = 8.225
区间端点
U = 125 + 8.225 = 133.2
答案
U = 133.2
11.线性回归与相关
答案: r = 0.994
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
中心化后的和
Sxy = 2625 − 36·367/6 = 423
Sxx = 286 − 36²/6 = 70
Syy = 25035 − 367²/6 = 2587
相关系数
r = 423/√(70·2587) = 0.994
答案
r = 0.994
12.线性回归与相关
答案: e = −2.414
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 27/6 = 4.5
ȳ = 429/6 = 71.5
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 103.5
回归直线
b = 103.5/17.5 = 5.914
a = 71.5 − 5.914·4.5 = 44.89
ŷ = 44.89 + 5.914·x
预测值
ŷ = 44.89 + 5.914·5.5 = 77.41
残差
e = 75 − 77.41 = −2.414
答案
e = −2.414
该点位于直线下方。
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