统计学基础：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：23, 20, 15, 25, 52, 57。

n = 6

s =

2.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 60，标准差为 20。数值低于 44 的比例 P 是多少？

μ = 60σ = 20x = 44

P =

3.概率中等

对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.3, 0.2, 0.3, 0.2

Var(X) =

4.概率困难

X 的分布如图所示，Y = 3X − 3。求 Y 的标准差 σ_Y。

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.05, 0.35, 0.3, 0.3Y = 3X − 3

σ_Y =

5.正态分布中等

拖动 z，使标准正态曲线下 −z 与 z 之间的阴影面积为 0.6923。求 z，保留两位小数。

A = 0.6923

z =

6.正态分布困难

成年男性的身高服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。拖动截断值，使阴影的前 95% 位于其右侧。求截断值 x。

μ = 178 cmσ = 7 cm95%

x = cm

7.置信区间中等

比较两种手机型号的电池续航时间。型号 1：60 部手机，均值 147.5 h，已知标准差 12 h。型号 2：50 部手机，均值 146 h，已知标准差 20 h。求 μ₁ − μ₂ 的 90% 置信区间的误差范围 E。

n₁ = 60x̄₁ = 147.5 hσ₁ = 12 hn₂ = 50x̄₂ = 146 hσ₂ = 20 h90%

E = h

8.置信区间困难

总体标准差为 22。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 1？

σ = 22E = 195%

n =

9.假设检验与置信区间中等

16 名学生的样本平均分为 105.8，样本标准差为 8。求 H₀: μ = 100 的检验统计量 t。

μ₀ = 100x̄ = 105.8s = 8n = 16

t =

10.假设检验与置信区间困难

在一项试验中，接受治疗 A 的 250 名患者中有 113 人康复，接受治疗 B 的 100 名患者中有 36 人康复。用合并比例求 H₀: p₁ = p₂ 的检验统计量 z。

x₁ = 113n₁ = 250x₂ = 36n₂ = 100

z =

11.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。求最小二乘直线的决定系数 r²。

n = 5

r² =

12.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 车龄（年）和 y = 价格 (k€)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。新得到一个观测值 (1.5, 24)。求其残差 e = y − ŷ。

n = 5(1.5, 24)

e =

3溶液

1.描述统计

答案: s = 17.82

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 192/6 = 32

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−9)² + (−12)² + (−17)² + (−7)² + 20² + 25² = 1588

标准差

s = √(1588/5) = 17.82

答案

s = 17.82

2.描述统计

答案: P = 0.2119

标准化

z = −0.8

标准正态分布表

Φ(−0.8) = 0.2119

P = 0.2119

答案

P = 0.2119

3.概率

答案: Var(X) = 4.96

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 0·0.3 + 2·0.2 + 4·0.3 + 6·0.2 = 2.8

平方的均值

E(X²) = 0·0.3 + 4·0.2 + 16·0.3 + 36·0.2 = 12.8

方差

Var(X) = 12.8 − 2.8² = 4.96

答案

Var(X) = 4.96

4.概率

答案: σ_Y = 2.729

X 的离散程度

μ = 2.85, Var(X) = 0.8275, σ_X = 0.9097

线性变换

σ_Y = |3|·0.9097 = 2.729

答案

σ_Y = 2.729

均值确实会改变：E(Y) = 3·2.85 − 3 = 5.55。

5.正态分布

答案: z = 1.02

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = (1 + 0.6923)/2 = 0.8461

反向查 z 表

在表中找到 0.8461，读出 z。

z = 1.02

答案

z = 1.02

6.正态分布

答案: x = 166.5 cm

左侧的面积

Φ(z) = 0.05

由表得到的 z

z ≈ −1.64

回到原来的单位

x = 178 − 1.64·7 = 166.5 cm

答案

x = 166.5 cm

7.置信区间

答案: E = 5.305 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

点估计

x̄₁ − x̄₂ = 147.5 − 146 = 1.5

标准误

SE = √(12²/60 + 20²/50) = 3.225

误差范围

E = 1.645·3.225 = 5.305

答案

E = 5.305 h

区间包含 0，所以数据没有显示出显著差异。

8.置信区间

答案: n = 1860

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

解出 n

n = (1.96·22/1)² = 1859

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 1860

答案

n = 1860

9.假设检验与置信区间

答案: t = 2.9

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 8/√16 = 8/4 = 2

检验统计量

t = (105.8 − 100)/2 = 2.9

答案

t = 2.9

t_{0.025; df = 15} = 2.131

|t| > 2.131，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

10.假设检验与置信区间

答案: z = 1.573

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

样本比例

p̂₁ = 113/250 = 0.452

p̂₂ = 36/100 = 0.36

p̂ = 149/350 = 0.4257

H₀ 下的标准误

SE = √(0.4257·0.5743·(1/250 + 1/100)) = 0.0585

检验统计量

z = (0.452 − 0.36)/0.0585 = 1.573

答案

z = 1.573

|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。

11.线性回归与相关

答案: r² = 0.9486

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 115/5 = 23

ȳ = 514/5 = 102.8

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 417

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 2037

决定系数

r² = 417²/(90·2037) = 0.9486

答案

r² = 0.9486

y 的变异中约有 94.86% 可由该直线解释。

12.线性回归与相关

答案: e = 1.8

均值

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 90/5 = 18

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −28

回归直线

b = −28/10 = −2.8

a = 18 − (−2.8)·3 = 26.4

ŷ = 26.4 − 2.8·x

预测值

ŷ = 26.4 + (−2.8)·1.5 = 22.2

残差

e = 24 − 22.2 = 1.8

答案

e = 1.8

该点位于直线上方。

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