统计学基础：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：57, 18, 52, 49, 60。

n = 5

s =

2.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 70，标准差为 8。数值低于 74.8 的比例 P 是多少？

μ = 70σ = 8x = 74.8

P =

3.概率中等

袋中有 4 个红球和 9 个蓝球。不放回地依次摸出两个球。两个都是红球的概率 P 是多少？

4 / 9

P =

4.概率困难

一份测试有 8 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.3，相互独立。恰好答对 2 题的概率 P 是多少？

n = 8p = 0.3k = 2

P =

5.正态分布中等

成年男性的身高服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。介于 167.85 和 190.95 cm 之间的比例是多少？P 以小数表示。

μ = 178σ = 7x₁ = 167.85x₂ = 190.95

P =

6.正态分布困难

配送时间服从正态分布，均值为 32 min，标准差为 6 min。求数值 x，使得有 5% 的数据低于它（第 5 百分位数）。

μ = 32σ = 6P = 5%

x = min

7.置信区间中等

一个包含 25 个个体的样本，均值为 57，标准差 s = 5.5。总体近似服从正态分布。求均值的 95% 置信区间的误差范围 E。

n = 25x̄ = 57s = 5.595%t(24) = 2.064

E =

8.置信区间困难

16 根机加工轴的直径样本标准差为 10.5 µm。假设直径服从正态分布，求总体标准差 95% 置信区间的下限 σ。df = 15 时，χ² 分布有 2.5% 位于 6.262 以下，2.5% 位于 27.488 以上。

n = 16s = 10.5 µmχ² = 6.262, 27.488

σ = µm

9.假设检验与置信区间中等

据称某总体的均值为 120；已知总体标准差为 15。一个含 25 个观测值的随机样本均值为 123.78。检验 H₀: μ = 120 对 H₁: μ > 120。求 p 值 p。

μ₀ = 120σ = 15n = 25x̄ = 123.78H₁: μ > μ₀

p =

10.假设检验与置信区间困难

在一项试验中，接受治疗 A 的 100 名患者中有 15 人康复，接受治疗 B 的 80 名患者中有 16 人康复。用合并比例求 H₀: p₁ = p₂ 的检验统计量 z。

x₁ = 15n₁ = 100x₂ = 16n₂ = 80

z =

11.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。求最小二乘直线的决定系数 r²。

n = 5

r² =

12.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 车龄（年）和 y = 价格 (k€)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。新得到一个观测值 (2.5, 11)。求其残差 e = y − ŷ。

n = 5(2.5, 11)

e =

3溶液

1.描述统计

答案: s = 16.87

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 236/5 = 47.2

离差平方

Σ(x − x̄)² = 9.8² + (−29.2)² + 4.8² + 1.8² + 12.8² = 1139

标准差

s = √(1139/4) = 16.87

答案

s = 16.87

2.描述统计

答案: P = 0.7257

标准化

z = 0.6

标准正态分布表

Φ(0.6) = 0.7257

P = 0.7257

答案

P = 0.7257

3.概率

答案: P = 0.07692

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

第一次和第二次摸球

P = 4/13 · 3/12 = 12/156 = 0.07692

答案

P = 0.07692

4.概率

答案: P = 0.2965

二项分布公式

P(X = 2) = 28·0.3²·0.7⁶ = 28·0.09·0.1176 = 0.2965

答案

P = 0.2965

5.正态分布

答案: P = 0.8943

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

z 分数

z₁ = (167.85 − 178)/7 = −1.45

z₂ = (190.95 − 178)/7 = 1.85

中间面积

P = Φ(1.85) − Φ(−1.45) = 0.9678 − 0.07353 = 0.8943

答案

P = 0.8943

6.正态分布

答案: x = 22.13 min

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.05 → z = −1.645

换算回 x

x = 32 + −1.645·6 = 22.13 min

答案

x = 22.13 min

7.置信区间

答案: E = 2.27

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 24, t = 2.064

误差范围

E = 2.064·5.5/√25 = 2.27

答案

E = 2.27

8.置信区间

答案: σ = 7.756 µm

方差的区间：(n − 1)s²/σ² 服从自由度为 n − 1 的 χ² 分布。σ² 的 95% 区间从 (n − 1)s² 除以上侧 χ² 值（其上方占 2.5%）到 (n − 1)s² 除以下侧 χ² 值（其下方占 2.5%）；σ 的区间是这两个限值的平方根。它关于 s 不对称。

平方和

(n − 1)s² = 15·10.5² = 1654

σ² 的限值

1654/27.488 = 60.16

1654/6.262 = 264.1

σ 的限值

σ = √60.16 = 7.756 µm

答案

σ = 7.756 µm

σ 的 95% 区间：[7.756, 16.25] µm。

9.假设检验与置信区间

答案: p = 0.1038

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

检验统计量

SE = σ/√n = 15/√25 = 3

z = (123.78 − 120)/3 = 1.26

尾部面积

Φ(1.26) = 0.8962

1 − Φ(1.26) = 0.1038

p 值

p = 0.1038

答案

p = 0.1038

p > 0.05，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀。

10.假设检验与置信区间

答案: z = −0.8828

样本比例

p̂₁ = 15/100 = 0.15

p̂₂ = 16/80 = 0.2

p̂ = 31/180 = 0.1722

H₀ 下的标准误

SE = √(0.1722·0.8278·(1/100 + 1/80)) = 0.05664

检验统计量

z = (0.15 − 0.2)/0.05664 = −0.8828

答案

z = −0.8828

|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。

11.线性回归与相关

答案: r² = 0.9585

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 120/5 = 24

ȳ = 370/5 = 74

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 294

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1002

决定系数

r² = 294²/(90·1002) = 0.9585

答案

r² = 0.9585

y 的变异中约有 95.85% 可由该直线解释。

12.线性回归与相关

答案: e = −5.15

均值

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 72/5 = 14.4

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −35

回归直线

b = −35/10 = −3.5

a = 14.4 − (−3.5)·3 = 24.9

ŷ = 24.9 − 3.5·x

预测值

ŷ = 24.9 + (−3.5)·2.5 = 16.15

残差

e = 11 − 16.15 = −5.15

答案

e = −5.15

该点位于直线下方。

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1