描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：52, 13, 47, 38, 47, 33。
n = 6
s =
2.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 70，标准差为 8。数值高于 58 的比例 P 是多少？
μ = 70σ = 8x = 58
P =
3.概率中等
对图中的分布，求 X 的标准差 σ。
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.1, 0.05, 0.35, 0.35, 0.15
σ =
4.概率困难
一局游戏的参与费用为 €3。你以概率 0.15 赢得 €12，以概率 0.01 赢得 €30；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。
赌注 = €3€12: p = 0.15€30: p = 0.01
E(G) = €
5.正态分布中等
考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。介于 55 和 73.5 分 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 65σ = 10x1 = 55x2 = 73.5
P =
6.正态分布困难
运动员 A 的单圈时间 X 与运动员 B 的单圈时间 Y相互独立且服从正态分布：X 的均值为 52 s，标准差为 4 s，Y 的均值为 48 s，标准差为 3 s。求 X 大于 Y 的概率 P。z 取两位小数。
μX = 52 s, σX = 4 sμY = 48 s, σY = 3 s
P =
7.置信区间中等
测量 20 名患者治疗前后的血压。差值 d = 治疗前 − 治疗后 (mmHg) 的均值为 2.6，标准差为 5.4。 求平均差值的 95% 置信区间的误差范围 E。
n = 20d̄ = 2.6sd = 5.495%t(19) = 2.093
E = mmHg
8.置信区间困难
总体标准差为 16。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 2.5？
σ = 16E = 2.599%
n =
9.假设检验与置信区间中等
比较两种教学方法。第 1 组：11 名学生，平均分 81，标准差 7.5。第 2 组：5 名学生，平均分 95.8，标准差 10。假设总体方差相等，使用合并方差的两样本 t 检验。取差值为 x̄₁ − x̄₂（第 1 组减第 2 组），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 t。
n₁ = 11x̄₁ = 81s₁ = 7.5n₂ = 5x̄₂ = 95.8s₂ = 10
t =
10.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.05 下，用容量为 25 的样本对 H₀: μ = 80 与 H₁: μ < 80 进行单侧 z 检验；已知标准差为 2.5。实际上均值为 78.7。 求第二类错误的概率 β，以百分比表示。
μ₀ = 80μ = 78.7σ = 2.5n = 25α = 0.05
β = %
11.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 求皮尔逊相关系数 r。
n = 5
r =
12.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (5, 11)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 6(5, 11)
e =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 14.19
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 230/6 = 38.33
离差平方
Σ(x − x̄)² = 13.67² + (−25.33)² + 8.667² + (−0.3333)² + 8.667² + (−5.333)² = 1007
标准差
s = √(1007/5) = 14.19
答案
s = 14.19
2.描述统计
答案: P = 0.9332
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = −1.5
标准正态分布表
Φ(−1.5) = 0.06681
P = 1 − 0.06681 = 0.9332
答案
P = 0.9332
3.概率
答案: σ = 1.114
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 1·0.1 + 2·0.05 + 3·0.35 + 4·0.35 + 5·0.15 = 3.4
平方的均值
E(X²) = 1·0.1 + 4·0.05 + 9·0.35 + 16·0.35 + 25·0.15 = 12.8
方差
Var(X) = 12.8 − 3.4² = 1.24
σ = √1.24 = 1.114
答案
σ = 1.114
4.概率
答案: E(G) = −0.9 €
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
净结果
G: 9 (p = 0.15), 27 (p = 0.01), −3 (p = 0.84)
期望值
E(G) = 9·0.15 + 27·0.01 − 3·0.84 = −0.9 €
答案
E(G) = −0.9 €
负值表示平均而言你会亏钱。
5.正态分布
答案: P = 0.6437
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (55 − 65)/10 = −1
z₂ = (73.5 − 65)/10 = 0.85
中间面积
P = Φ(0.85) − Φ(−1) = 0.8023 − 0.1587 = 0.6437
答案
P = 0.6437
6.正态分布
答案: P = 0.7881
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
差的分布
μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s
标准化
z = (0 − 4)/5 = −0.8
概率
P = 1 − Φ(−0.8) = 0.7881
答案
P = 0.7881
7.置信区间
答案: E = 2.527 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
临界值
df = 19, t = 2.093
误差范围
E = 2.093·5.4/√20 = 2.527
答案
E = 2.527 mmHg
8.置信区间
答案: n = 272
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (2.576·16/2.5)² = 271.8
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 272
答案
n = 272
9.假设检验与置信区间
答案: t = −3.309
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
合并方差
sp² = (10·7.5² + 4·10²)/14 = 68.75
sp = 8.292
标准误
SE = 8.292·√(1/11 + 1/5) = 4.472
检验统计量
t = (81 − 95.8)/4.472 = −3.309
答案
t = −3.309
df = 14 时，双侧 5% 的临界值为 2.145；|t| 更大，所以拒绝 H₀。
10.假设检验与置信区间
答案: β = 16.98 %
检验功效：功效 = 1 − β，是 H₀ 为假时拒绝 H₀ 的概率。由 μ₀ 和 z_α 求出临界值 x̄c，再用真实均值计算落在 x̄c 以外的概率：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
临界样本均值
SE = 2.5/√25 = 0.5
x̄c = 80 − 1.645·0.5 = 79.18
真实均值下的 z
z = (79.18 − 78.7)/0.5 = 0.955
第二类错误
功效 = P(Z < 0.955) = 83.02%
β = 100% − 83.02% = 16.98%
答案
β = 16.98%
11.线性回归与相关
答案: r = 0.9933
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 354/5 = 70.8
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 290
Syy = Σ(y − ȳ)² = 2131
相关系数
r = 290/√(40·2131) = 0.9933
答案
r = 0.9933
12.线性回归与相关
答案: e = −1.667
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 100/6 = 16.67
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 140
回归直线
b = 140/70 = 2
a = 16.67 − 2·7 = 2.667
ŷ = 2.667 + 2·x
预测值
ŷ = 2.667 + 2·5 = 12.67
残差
e = 11 − 12.67 = −1.667
答案
e = −1.667
该点位于直线下方。
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