统计学基础：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：28, 53, 12, 13, 22。

n = 5

s =

2.描述统计困难

考试成绩服从正态分布，平均数为 170，标准差为 20。求成绩 130 的 z 分数 z。

μ = 170σ = 20x = 130

z =

3.概率中等

对图中的分布，求 X 的标准差 σ。

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.1, 0.2, 0.1, 0.25, 0.35

σ =

4.概率困难

一份测试有 7 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.6，相互独立。恰好答对 1 题的概率 P 是多少？

n = 7p = 0.6k = 1

P =

5.正态分布中等

拖动 z，使标准正态曲线下 −z 与 z 之间的阴影面积为 0.5878。求 z，保留两位小数。

A = 0.5878

z =

6.正态分布困难

孔径 D 服从均值 25.03 mm、标准差 0.02 mm 的正态分布。轴径 d 独立，服从均值 25 mm、标准差 0.01 mm 的正态分布。随机选取的一根轴在 D − d > 0 时能装入。求它能装入的概率 P。z 取两位小数。

孔: μ = 25.03 mm, σ = 0.02 mm轴: μ = 25 mm, σ = 0.01 mm

P =

7.置信区间中等

一个包含 7 个个体的样本，均值为 76.5，标准差 s = 11.5。总体近似服从正态分布。求均值的 99% 置信区间的上限。

n = 7x̄ = 76.5s = 11.599%t(6) = 3.707

上限 =

8.置信区间困难

总体标准差为 10。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 2？

σ = 10E = 299%

n =

9.假设检验与置信区间中等

据称某总体的均值为 50；已知总体标准差为 18。一个含 36 个观测值的随机样本均值为 46.34。检验 H₀: μ = 50 对 H₁: μ ≠ 50。求 p 值 p。

μ₀ = 50σ = 18n = 36x̄ = 46.34H₁: μ ≠ μ₀

p =

10.假设检验与置信区间困难

样本至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 3？标准差为 8。求最小样本量 n。

σ = 8E = 399%

n =

11.线性回归与相关中等

表中给出 6 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。

n = 6Σx = 42Σy = 123Σx² = 364Σy² = 2943Σxy = 1030

r =

12.线性回归与相关困难

表中给出 6 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 83？

n = 6ŷ = 83

x =

3溶液

1.描述统计

答案: s = 16.68

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 128/5 = 25.6

离差平方

Σ(x − x̄)² = 2.4² + 27.4² + (−13.6)² + (−12.6)² + (−3.6)² = 1113

标准差

s = √(1113/4) = 16.68

答案

s = 16.68

2.描述统计

答案: z = −2

标准化

z = (130 − 170)/20 = −2

答案

z = −2

3.概率

答案: σ = 1.396

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 0·0.1 + 1·0.2 + 2·0.1 + 3·0.25 + 4·0.35 = 2.55

平方的均值

E(X²) = 0·0.1 + 1·0.2 + 4·0.1 + 9·0.25 + 16·0.35 = 8.45

方差

Var(X) = 8.45 − 2.55² = 1.947

σ = √1.947 = 1.396

答案

σ = 1.396

4.概率

答案: P = 0.0172

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

二项分布公式

P(X = 1) = 7·0.6¹·0.4⁶ = 7·0.6·0.004096 = 0.0172

答案

P = 0.0172

5.正态分布

答案: z = 0.82

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = (1 + 0.5878)/2 = 0.7939

反向查 z 表

在表中找到 0.7939，读出 z。

z = 0.82

答案

z = 0.82

6.正态分布

答案: P = 0.9099

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

差的分布

μ = 25.03 − 25 = 0.03 mm, σ = 0.02236 mm

标准化

z = (0 − 0.03)/0.02236 = −1.34

概率

P = 1 − Φ(−1.34) = 0.9099

答案

P = 0.9099

7.置信区间

答案: 上限 = 92.61

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 6, t = 3.707

误差范围

E = 3.707·11.5/√7 = 16.11

区间

76.5 ± 16.11 → [60.39, 92.61]

答案

上限 = 92.61

8.置信区间

答案: n = 166

解出 n

n = (2.576·10/2)² = 165.9

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 166

答案

n = 166

9.假设检验与置信区间

答案: p = 0.2225

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

检验统计量

SE = σ/√n = 18/√36 = 3

z = (46.34 − 50)/3 = −1.22

尾部面积

Φ(1.22) = 0.8888

1 − Φ(1.22) = 0.1112

p 值

p = 2·0.1112 = 0.2225

答案

p = 0.2225

p > 0.05，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀。

10.假设检验与置信区间

答案: n = 48

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

解出 n

n = (2.576·8/3)² = 47.19

向上取整

n = 48

答案

n = 48

11.线性回归与相关

答案: r = 0.9839

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

中心化后的和

S_xy = 1030 − 42·123/6 = 169

S_xx = 364 − 42²/6 = 70

S_yy = 2943 − 123²/6 = 421.5

答案

r = 0.9839

12.线性回归与相关

答案: x = 27.05

均值

x̄ = 138/6 = 23

ȳ = 414/6 = 69

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 242

回归直线

b = 242/70 = 3.457

a = 69 − 3.457·23 = −10.51

ŷ = −10.51 + 3.457·x

解出 x

x = (83 − (−10.51))/3.457 = 27.05

答案

x = 27.05

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