描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：34, 52, 57, 15, 42, 24。
n = 6
s =
2.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 50，标准差为 20。求成绩 80 的 z 分数 z。
μ = 50σ = 20x = 80
z =
3.概率中等
对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.35, 0.15, 0.1, 0.2, 0.2
Var(X) =
4.概率困难
测试 10 个元件，每个独立地以概率 0.6 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？
n = 10p = 0.6
P =
5.正态分布中等
电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。介于 422 和 510 h 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 500σ = 40x1 = 422x2 = 510
P =
6.正态分布困难
电池寿命 服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。拖动截断值，使阴影的后 80% 位于其左侧。求截断值 x。
μ = 500 hσ = 40 h80%
x = h
7.置信区间中等
基于 36 个观测值且 σ 已知的均值 99% 置信区间，其误差范围为 4.8。 如果同一研究改用 324 个观测值，误差范围 E₂ 是多少？
99%n₁ = 36E₁ = 4.8n₂ = 324
E₂ =
8.置信区间困难
一项预研究表明，约有 0.3 的产品有缺陷。 必须检验多少件产品 n，才能使比例的 95% 置信区间的误差范围不超过 0.02？
p ≈ 0.3E = 0.0295%
n =
9.假设检验与置信区间中等
两条生产线生产同一种零件。生产线 1：80 个零件的样本平均长度为 84 mm，该生产线的已知标准差为 8 mm。生产线 2：80 个零件的样本均值为 82.9 mm，已知标准差为 7 mm。取差值为 x̄₁ − x̄₂（生产线 1 减生产线 2），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 z。
n₁ = 80x̄₁ = 84 mmσ₁ = 8 mmn₂ = 80x̄₂ = 82.9 mmσ₂ = 7 mm
z =
10.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.10 下，用容量为 64 的样本对 H₀: μ = 500 与 H₁: μ < 500 进行单侧 z 检验；已知标准差为 24。实际上均值为 490.7。 求该检验的功效 1 − β，以百分比表示。
μ₀ = 500μ = 490.7σ = 24n = 64α = 0.10
1 − β = %
11.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 求最小二乘直线的决定系数 r²。
n = 6
r² =
12.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 73？
n = 6ŷ = 73
x =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 16.19
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 224/6 = 37.33
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−3.333)² + 14.67² + 19.67² + (−22.33)² + 4.667² + (−13.33)² = 1311
标准差
s = √(1311/5) = 16.19
答案
s = 16.19
2.描述统计
答案: z = 1.5
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (80 − 50)/20 = 1.5
答案
z = 1.5
3.概率
答案: Var(X) = 2.488
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 0·0.35 + 1·0.15 + 2·0.1 + 3·0.2 + 4·0.2 = 1.75
平方的均值
E(X²) = 0·0.35 + 1·0.15 + 4·0.1 + 9·0.2 + 16·0.2 = 5.55
方差
Var(X) = 5.55 − 1.75² = 2.488
答案
Var(X) = 2.488
4.概率
答案: P = 0.001678
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
零个和一个失效
P(X = 0) = 0.410 = 0.0001049
P(X = 1) = 10·0.6·0.49 = 0.001573
相加
P = 0.0001049 + 0.001573 = 0.001678
答案
P = 0.001678
5.正态分布
答案: P = 0.5731
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (422 − 500)/40 = −1.95
z₂ = (510 − 500)/40 = 0.25
中间面积
P = Φ(0.25) − Φ(−1.95) = 0.5987 − 0.02559 = 0.5731
答案
P = 0.5731
6.正态分布
答案: x = 534 h
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.8
由表得到的 z
z ≈ 0.84
回到原来的单位
x = 500 + 0.84·40 = 534 h
答案
x = 534 h
7.置信区间
答案: E₂ = 1.6
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
误差范围之比
E₂/E₁ = (2.576/2.576)·√(36/324) = 0.3333
新的误差范围
E₂ = 4.8·0.3333 = 1.6
答案
E₂ = 1.6
8.置信区间
答案: n = 2017
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.
解出 n
n = 1.96²·0.3·0.7/0.02² = 2017
向上取整
n = 2017
答案
n = 2017
9.假设检验与置信区间
答案: z = 0.9255
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
差值的标准误
SE = √(8²/80 + 7²/80) = √1.413 = 1.188
检验统计量
z = (84 − 82.9)/1.188 = 0.9255
答案
z = 0.9255
|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
10.假设检验与置信区间
答案: 1 − β = 96.55 %
检验功效：功效 = 1 − β，是 H₀ 为假时拒绝 H₀ 的概率。由 μ₀ 和 z_α 求出临界值 x̄c，再用真实均值计算落在 x̄c 以外的概率：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
临界样本均值
SE = 24/√64 = 3
x̄c = 500 − 1.282·3 = 496.2
真实均值下的 z
z = (496.2 − 490.7)/3 = 1.818
功率
功效 = P(Z < 1.818) = 96.55%
1 − β = 96.55%
答案
1 − β = 96.55%
11.线性回归与相关
答案: r² = 0.9793
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 136/6 = 22.67
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 210
Syy = Σ(y − ȳ)² = 643.3
决定系数
r² = 210²/(70·643.3) = 0.9793
答案
r² = 0.9793
y 的变异中约有 97.93% 可由该直线解释。
12.线性回归与相关
答案: x = 3.521
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 33/6 = 5.5
ȳ = 515/6 = 85.83
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 113.5
回归直线
b = 113.5/17.5 = 6.486
a = 85.83 − 6.486·5.5 = 50.16
ŷ = 50.16 + 6.486·x
解出 x
x = (73 − 50.16)/6.486 = 3.521
答案
x = 3.521
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