统计学基础：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：54, 58, 16, 10, 45。

n = 5

s =

2.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 50，标准差为 10。数值低于 38 的比例 P 是多少？

μ = 50σ = 10x = 38

P =

3.概率中等

对图中的分布，求 X 的标准差 σ。

x: 0, 1, 2p(x): 0.35, 0.35, 0.3

σ =

4.概率困难

X 的分布如图所示，Y = 10X + 4。求 Y 的标准差 σ_Y。

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.15, 0.25, 0.35, 0.05, 0.2Y = 10X + 4

σ_Y =

5.正态分布中等

拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.1075。求 z，保留两位小数。

A = 0.1075

z =

6.正态分布困难

袋装重量服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。求数值 x，使得有 25% 的数据低于它（第 25 百分位数）。

μ = 250σ = 5P = 25%

x = g

7.置信区间中等

测量 12 名患者治疗前后的血压。差值 d = 治疗前 − 治疗后 (mmHg) 的均值为 −1.6，标准差为 1。求平均差值的 90% 置信区间的下限。

n = 12d̄ = −1.6s_d = 190%t(11) = 1.796

下限 = mmHg

8.置信区间困难

对两种肥料进行试验。地块组 1：16 块地，平均产量 87.5 kg，标准差 3 kg。地块组 2：15 块地，均值 83 kg，标准差 9.5 kg。假设方差相等（合并 t，df = n₁ + n₂ − 2）。求 μ₁ − μ₂ 的 95% 置信区间的上限。

n₁ = 16x̄₁ = 87.5s₁ = 3n₂ = 15x̄₂ = 83s₂ = 9.595%t(29) = 2.045

上限 = kg

9.假设检验与置信区间中等

25 名学生的样本平均分为 505.8，样本标准差为 10。求 H₀: μ = 500 的检验统计量 t。

μ₀ = 500x̄ = 505.8s = 10n = 25

t =

10.假设检验与置信区间困难

在一项试验中，接受治疗 A 的 120 名患者中有 30 人康复，接受治疗 B 的 300 名患者中有 87 人康复。用合并比例求 H₀: p₁ = p₂ 的检验统计量 z。

x₁ = 30n₁ = 120x₂ = 87n₂ = 300

z =

11.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。

n = 5Σx = 30Σy = 114Σx² = 220Σy² = 3156Σxy = 832

r =

12.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 12？

n = 5ŷ = 12

x =

3溶液

1.描述统计

答案: s = 22.15

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 183/5 = 36.6

离差平方

Σ(x − x̄)² = 17.4² + 21.4² + (−20.6)² + (−26.6)² + 8.4² = 1963

标准差

s = √(1963/4) = 22.15

答案

s = 22.15

2.描述统计

答案: P = 0.1151

标准化

z = −1.2

标准正态分布表

Φ(−1.2) = 0.1151

P = 0.1151

答案

P = 0.1151

3.概率

答案: σ = 0.8047

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 0·0.35 + 1·0.35 + 2·0.3 = 0.95

平方的均值

E(X²) = 0·0.35 + 1·0.35 + 4·0.3 = 1.55

方差

Var(X) = 1.55 − 0.95² = 0.6475

σ = √0.6475 = 0.8047

答案

σ = 0.8047

4.概率

答案: σ_Y = 13

X 的离散程度

μ = 1.9, Var(X) = 1.69, σ_X = 1.3

线性变换

σ_Y = |10|·1.3 = 13

答案

σ_Y = 13

均值确实会改变：E(Y) = 10·1.9 + 4 = 23。

5.正态分布

答案: z = 1.24

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = 1 − 0.1075 = 0.8925

反向查 z 表

在表中找到 0.8925，读出 z。

z = 1.24

答案

z = 1.24

6.正态分布

答案: x = 246.6 g

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.25 → z = −0.6745

换算回 x

x = 250 + −0.6745·5 = 246.63 g

答案

x = 246.63 g

7.置信区间

答案: 下限 = −2.118 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

临界值

df = 11, t = 1.796

误差范围

E = 1.796·1/√12 = 0.5185

区间

−1.6 ± 0.5185 → [−2.118, −1.082]

答案

下限 = −2.118 mmHg

8.置信区间

答案: 上限 = 9.604 kg

合并标准差

s_p² = (15·3² + 14·9.5²)/29 = 48.22

s_p = 6.944

误差范围

E = 2.045·6.944·√(1/16 + 1/15) = 5.104

区间

4.5 ± 5.104 → [−0.6039, 9.604]

答案

上限 = 9.604 kg

9.假设检验与置信区间

答案: t = 2.9

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 10/√25 = 10/5 = 2

检验统计量

t = (505.8 − 500)/2 = 2.9

答案

t = 2.9

t_{0.025; df = 24} = 2.064

|t| > 2.064，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

10.假设检验与置信区间

答案: z = −0.8261

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

样本比例

p̂₁ = 30/120 = 0.25

p̂₂ = 87/300 = 0.29

p̂ = 117/420 = 0.2786

H₀ 下的标准误

SE = √(0.2786·0.7214·(1/120 + 1/300)) = 0.04842

检验统计量

z = (0.25 − 0.29)/0.04842 = −0.8261

答案

z = −0.8261

|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。

11.线性回归与相关

答案: r = 0.9917

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

中心化后的和

S_xy = 832 − 30·114/5 = 148

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 3156 − 114²/5 = 556.8

答案

r = 0.9917

12.线性回归与相关

答案: x = 4.8

均值

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 72/5 = 14.4

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 80

回归直线

b = 80/40 = 2

a = 14.4 − 2·6 = 2.4

ŷ = 2.4 + 2·x

解出 x

x = (12 − 2.4)/2 = 4.8

答案

x = 4.8

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