统计学基础：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：19, 35, 52, 27, 32, 11。

n = 6

s =

2.描述统计困难

考试成绩服从正态分布，平均数为 50，标准差为 8。求成绩 54.8 的 z 分数 z。

μ = 50σ = 8x = 54.8

z =

3.概率中等

对图中的分布，求 X 的标准差 σ。

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.25, 0.35, 0.1, 0.3

σ =

4.概率困难

一局游戏的参与费用为 €5。你以概率 0.15 赢得 €25，以概率 0.01 赢得 €250；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。

赌注 = €5€25: p = 0.15€250: p = 0.01

E(G) = €

5.正态分布中等

拖动 z，使标准正态曲线下 −z 与 z 之间的阴影面积为 0.2586。求 z，保留两位小数。

A = 0.2586

z =

6.正态分布困难

孔径 D 服从均值 25.03 mm、标准差 0.015 mm 的正态分布。轴径 d 独立，服从均值 25 mm、标准差 0.02 mm 的正态分布。随机选取的一根轴在 D − d > 0 时能装入。求它能装入的概率 P。z 取两位小数。

孔: μ = 25.03 mm, σ = 0.015 mm轴: μ = 25 mm, σ = 0.02 mm

P =

7.置信区间中等

比较两种手机型号的电池续航时间。型号 1：100 部手机，均值 66 h，已知标准差 11 h。型号 2：60 部手机，均值 78.5 h，已知标准差 3 h。求 μ₁ − μ₂ 的 99% 置信区间的上限。

n₁ = 100x̄₁ = 66 hσ₁ = 11 hn₂ = 60x̄₂ = 78.5 hσ₂ = 3 h99%

上限 = h

8.置信区间困难

事先对缺陷产品的比例一无所知。必须检验多少件产品 n，才能使比例的 90% 置信区间的误差范围不超过 0.04？

p = 0.5E = 0.0490%

n =

9.假设检验与置信区间中等

36 名学生的样本平均分为 205.7，样本标准差为 20。求 H₀: μ = 200 的检验统计量 t。

μ₀ = 200x̄ = 205.7s = 20n = 36

t =

10.假设检验与置信区间困难

100 次测量的样本均值为 101.4。总体标准差为 10。求均值 95% 置信区间的上限 U。

x̄ = 101.4σ = 10n = 10095%

U =

11.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。求皮尔逊相关系数 r。

n = 5

r =

12.线性回归与相关困难

表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数和 y = 考试成绩。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。新得到一个观测值 (10, 101)。求其残差 e = y − ŷ。

n = 6(10, 101)

e =

3溶液

1.描述统计

答案: s = 14.15

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 176/6 = 29.33

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−10.33)² + 5.667² + 22.67² + (−2.333)² + 2.667² + (−18.33)² = 1001

标准差

s = √(1001/5) = 14.15

答案

s = 14.15

2.描述统计

答案: z = 0.6

标准化

z = (54.8 − 50)/8 = 0.6

答案

z = 0.6

3.概率

答案: σ = 1.161

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 1·0.25 + 2·0.35 + 3·0.1 + 4·0.3 = 2.45

平方的均值

E(X²) = 1·0.25 + 4·0.35 + 9·0.1 + 16·0.3 = 7.35

方差

Var(X) = 7.35 − 2.45² = 1.347

σ = √1.347 = 1.161

答案

σ = 1.161

4.概率

答案: E(G) = 1.25 €

净结果

G: 20 (p = 0.15), 245 (p = 0.01), −5 (p = 0.84)

期望值

E(G) = 20·0.15 + 245·0.01 − 5·0.84 = 1.25 €

答案

E(G) = 1.25 €

正值表示平均而言你会赢钱。

5.正态分布

答案: z = 0.33

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = (1 + 0.2586)/2 = 0.6293

反向查 z 表

在表中找到 0.6293，读出 z。

z = 0.33

答案

z = 0.33

6.正态分布

答案: P = 0.8849

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

差的分布

μ = 25.03 − 25 = 0.03 mm, σ = 0.025 mm

标准化

z = (0 − 0.03)/0.025 = −1.2

概率

P = 1 − Φ(−1.2) = 0.8849

答案

P = 0.8849

7.置信区间

答案: 上限 = −9.496 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

点估计

x̄₁ − x̄₂ = 66 − 78.5 = −12.5

标准误

SE = √(11²/100 + 3²/60) = 1.166

误差范围

E = 2.576·1.166 = 3.004

区间

−12.5 ± 3.004 → [−15.5, −9.496]

答案

上限 = −9.496 h

区间不包含 0，所以两个均值有显著差异。

8.置信区间

答案: n = 423

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

解出 n

n = 1.645²·0.5·0.5/0.04² = 422.8

向上取整

n = 423

答案

n = 423

9.假设检验与置信区间

答案: t = 1.71

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 20/√36 = 20/6 = 3.333

检验统计量

t = (205.7 − 200)/3.333 = 1.71

答案

t = 1.71

t_{0.025; df = 35} = 2.03

|t| < 2.03，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。

10.假设检验与置信区间

答案: U = 103.4

误差范围

E = 1.96·10/√100 = 1.96

区间端点

U = 101.4 + 1.96 = 103.4

答案

U = 103.4

11.线性回归与相关

答案: r = 0.9813

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 110/5 = 22

ȳ = 325/5 = 65

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 172

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 768

答案

r = 0.9813

12.线性回归与相关

答案: e = 5.295

均值

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 446/6 = 74.33

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 374

回归直线

b = 374/70 = 5.343

a = 74.33 − 5.343·6 = 42.28

ŷ = 42.28 + 5.343·x

预测值

ŷ = 42.28 + 5.343·10 = 95.7

残差

e = 101 − 95.7 = 5.295

答案

e = 5.295

该点位于直线上方。

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