描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：22, 28, 26, 46, 58, 42。
n = 6
s =
2.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 70，标准差为 8。数值低于 74.8 的比例 P 是多少？
μ = 70σ = 8x = 74.8
P =
3.概率中等
对图中的分布，求 X 的标准差 σ。
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.15, 0.25, 0.25, 0.35
σ =
4.概率困难
一份测试有 12 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.7，相互独立。恰好答对 1 题的概率 P 是多少？
n = 12p = 0.7k = 1
P =
5.正态分布中等
X 服从均值 60 s、标准差 5 s 的正态分布；Y 独立，服从均值 45 s、标准差 4 s 的正态分布。求 X + Y 大于 101.8 s 的概率 P。z 取两位小数。
μX = 60, σX = 5μY = 45, σY = 4X + Y > 101.8 s
P =
6.正态分布困难
一组人中男性的身高 X 与女性的身高 Y相互独立且服从正态分布：X 的均值为 180 cm，标准差为 10 cm，Y 的均值为 170 cm，标准差为 12 cm。求 X 大于 Y 的概率 P。z 取两位小数。
μX = 180 cm, σX = 10 cmμY = 170 cm, σY = 12 cm
P =
7.置信区间中等
比较两种手机型号的电池续航时间。型号 1：40 部手机，均值 76 h，已知标准差 11 h。型号 2：80 部手机，均值 70.5 h，已知标准差 13 h。 求 μ₁ − μ₂ 的 90% 置信区间的下限。
n₁ = 40x̄₁ = 76 hσ₁ = 11 hn₂ = 80x̄₂ = 70.5 hσ₂ = 13 h90%
下限 = h
8.置信区间困难
总体标准差为 39。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 1？
σ = 39E = 195%
n =
9.假设检验与置信区间中等
16 名学生的样本平均分为 53.4，样本标准差为 8。求 H₀: μ = 50 的检验统计量 t。
μ₀ = 50x̄ = 53.4s = 8n = 16
t =
10.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.05 下，用容量为 36 的样本对 H₀: μ = 100 与 H₁: μ > 100 进行单侧 z 检验；已知标准差为 3。实际上均值为 101。 求该检验的功效 1 − β，以百分比表示。
μ₀ = 100μ = 101σ = 3n = 36α = 0.05
1 − β = %
11.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 求皮尔逊相关系数 r。
n = 5
r =
12.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 13？
n = 5ŷ = 13
x =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 13.96
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 222/6 = 37
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−15)² + (−9)² + (−11)² + 9² + 21² + 5² = 974
标准差
s = √(974/5) = 13.96
答案
s = 13.96
2.描述统计
答案: P = 0.7257
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = 0.6
标准正态分布表
Φ(0.6) = 0.7257
P = 0.7257
答案
P = 0.7257
3.概率
答案: σ = 2.154
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 0·0.15 + 2·0.25 + 4·0.25 + 6·0.35 = 3.6
平方的均值
E(X²) = 0·0.15 + 4·0.25 + 16·0.25 + 36·0.35 = 17.6
方差
Var(X) = 17.6 − 3.6² = 4.64
σ = √4.64 = 2.154
答案
σ = 2.154
4.概率
答案: P = 1.488 × 10⁻⁵
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
二项分布公式
P(X = 1) = 12·0.71·0.311 = 12·0.7·1.771 × 10⁻⁶ = 1.488 × 10⁻⁵
答案
P = 1.488 × 10⁻⁵
5.正态分布
答案: P = 0.6915
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
和的分布
μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6.403 s
标准化
z = (101.8 − 105)/6.403 = −0.5
上尾
P = 1 − Φ(−0.5) = 1 − 0.3085 = 0.6915
答案
P = 0.6915
6.正态分布
答案: P = 0.7389
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
差的分布
μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15.62 cm
标准化
z = (0 − 10)/15.62 = −0.64
概率
P = 1 − Φ(−0.64) = 0.7389
答案
P = 0.7389
7.置信区间
答案: 下限 = 1.771 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
点估计
x̄₁ − x̄₂ = 76 − 70.5 = 5.5
标准误
SE = √(11²/40 + 13²/80) = 2.267
误差范围
E = 1.645·2.267 = 3.729
区间
5.5 ± 3.729 → [1.771, 9.229]
答案
下限 = 1.771 h
区间不包含 0，所以两个均值有显著差异。
8.置信区间
答案: n = 5844
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (1.96·39/1)² = 5843
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 5844
答案
n = 5844
9.假设检验与置信区间
答案: t = 1.7
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 8/√16 = 8/4 = 2
检验统计量
t = (53.4 − 50)/2 = 1.7
答案
t = 1.7
t0.025; df = 15 = 2.131
|t| < 2.131，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
10.假设检验与置信区间
答案: 1 − β = 63.87 %
检验功效：功效 = 1 − β，是 H₀ 为假时拒绝 H₀ 的概率。由 μ₀ 和 z_α 求出临界值 x̄c，再用真实均值计算落在 x̄c 以外的概率：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
临界样本均值
SE = 3/√36 = 0.5
x̄c = 100 + 1.645·0.5 = 100.8
真实均值下的 z
z = (100.8 − 101)/0.5 = −0.355
功率
功效 = P(Z > −0.355) = 63.87%
1 − β = 63.87%
答案
1 − β = 63.87%
11.线性回归与相关
答案: r = 0.9848
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 376/5 = 75.2
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 68
Syy = Σ(y − ȳ)² = 476.8
相关系数
r = 68/√(10·476.8) = 0.9848
答案
r = 0.9848
12.线性回归与相关
答案: x = 5.048
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 75/5 = 15
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 84
回归直线
b = 84/40 = 2.1
a = 15 − 2.1·6 = 2.4
ŷ = 2.4 + 2.1·x
解出 x
x = (13 − 2.4)/2.1 = 5.048
答案
x = 5.048
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1