描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：22, 13, 34, 47, 46, 34, 50。
n = 7
s =
2.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 170，标准差为 15。数值低于 188.8 的比例 P 是多少？
μ = 170σ = 15x = 188.8
P =
3.概率中等
对图中的分布，求 X 的标准差 σ。
x: 0, 1, 2p(x): 0.35, 0.3, 0.35
σ =
4.概率困难
X 的分布如图所示，Y = 3X + 1。求 Y 的标准差 σY。
x: 0, 1, 2p(x): 0.3, 0.35, 0.35Y = 3X + 1
σY =
5.正态分布中等
电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。介于 442 和 550 h 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 500σ = 40x1 = 442x2 = 550
P =
6.正态分布困难
孔径 D 服从均值 25.03 mm、标准差 0.015 mm 的正态分布。轴径 d 独立，服从均值 25 mm、标准差 0.02 mm 的正态分布。随机选取的一根轴在 D − d > 0 时能装入。求它能装入的概率 P。z 取两位小数。
孔: μ = 25.03 mm, σ = 0.015 mm轴: μ = 25 mm, σ = 0.02 mm
P =
7.置信区间中等
比较两种手机型号的电池续航时间。型号 1：100 部手机，均值 81 h，已知标准差 13 h。型号 2：40 部手机，均值 84.5 h，已知标准差 8 h。 求 μ₁ − μ₂ 的 99% 置信区间的上限。
n₁ = 100x̄₁ = 81 hσ₁ = 13 hn₂ = 40x̄₂ = 84.5 hσ₂ = 8 h99%
上限 = h
8.置信区间困难
总体标准差为 20。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 2.5？
σ = 20E = 2.595%
n =
9.假设检验与置信区间中等
两条生产线生产同一种零件。生产线 1：80 个零件的样本平均长度为 132 mm，该生产线的已知标准差为 20 mm。生产线 2：40 个零件的样本均值为 133.8 mm，已知标准差为 3 mm。取差值为 x̄₁ − x̄₂（生产线 1 减生产线 2），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 z。
n₁ = 80x̄₁ = 132 mmσ₁ = 20 mmn₂ = 40x̄₂ = 133.8 mmσ₂ = 3 mm
z =
10.假设检验与置信区间困难
81 次测量的样本均值为 122。总体标准差为 10。求均值 99% 置信区间的下限 L。
x̄ = 122σ = 10n = 8199%
L =
11.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 求最小二乘直线的决定系数 r²。
n = 5
r² =
12.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 107？
n = 6ŷ = 107
x =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 13.81
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 246/7 = 35.14
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−13.14)² + (−22.14)² + (−1.143)² + 11.86² + 10.86² + (−1.143)² + 14.86² = 1145
标准差
s = √(1145/6) = 13.81
答案
s = 13.81
2.描述统计
答案: P = 0.8944
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = 1.25
标准正态分布表
Φ(1.25) = 0.8944
P = 0.8944
答案
P = 0.8944
3.概率
答案: σ = 0.8367
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 0·0.35 + 1·0.3 + 2·0.35 = 1
平方的均值
E(X²) = 0·0.35 + 1·0.3 + 4·0.35 = 1.7
方差
Var(X) = 1.7 − 1² = 0.7
σ = √0.7 = 0.8367
答案
σ = 0.8367
4.概率
答案: σY = 2.414
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
X 的离散程度
μ = 1.05, Var(X) = 0.6475, σX = 0.8047
线性变换
σY = |3|·0.8047 = 2.414
答案
σY = 2.414
均值确实会改变：E(Y) = 3·1.05 + 1 = 4.15。
5.正态分布
答案: P = 0.8208
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (442 − 500)/40 = −1.45
z₂ = (550 − 500)/40 = 1.25
中间面积
P = Φ(1.25) − Φ(−1.45) = 0.8944 − 0.07353 = 0.8208
答案
P = 0.8208
6.正态分布
答案: P = 0.8849
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
差的分布
μ = 25.03 − 25 = 0.03 mm, σ = 0.025 mm
标准化
z = (0 − 0.03)/0.025 = −1.2
概率
P = 1 − Φ(−1.2) = 0.8849
答案
P = 0.8849
7.置信区间
答案: 上限 = 1.172 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
点估计
x̄₁ − x̄₂ = 81 − 84.5 = −3.5
标准误
SE = √(13²/100 + 8²/40) = 1.814
误差范围
E = 2.576·1.814 = 4.672
区间
−3.5 ± 4.672 → [−8.172, 1.172]
答案
上限 = 1.172 h
区间包含 0，所以数据没有显示出显著差异。
8.置信区间
答案: n = 246
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (1.96·20/2.5)² = 245.9
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 246
答案
n = 246
9.假设检验与置信区间
答案: z = −0.7875
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
差值的标准误
SE = √(20²/80 + 3²/40) = √5.225 = 2.286
检验统计量
z = (132 − 133.8)/2.286 = −0.7875
答案
z = −0.7875
|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
10.假设检验与置信区间
答案: L = 119.1
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
误差范围
E = 2.576·10/√81 = 2.862
区间端点
L = 122 − 2.862 = 119.1
答案
L = 119.1
11.线性回归与相关
答案: r² = 0.9924
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 376/5 = 75.2
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 258
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1677
决定系数
r² = 258²/(40·1677) = 0.9924
答案
r² = 0.9924
y 的变异中约有 99.24% 可由该直线解释。
12.线性回归与相关
答案: x = 10.06
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 36/6 = 6
ȳ = 485/6 = 80.83
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 451
回归直线
b = 451/70 = 6.443
a = 80.83 − 6.443·6 = 42.18
ŷ = 42.18 + 6.443·x
解出 x
x = (107 − 42.18)/6.443 = 10.06
答案
x = 10.06
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1