描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：38, 23, 59, 48, 30, 20, 14。
n = 7
s =
2.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 70，标准差为 15。数值低于 52 的比例 P 是多少？
μ = 70σ = 15x = 52
P =
3.概率中等
对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.25, 0.3, 0.3, 0.1, 0.05
Var(X) =
4.概率困难
测试 11 个元件，每个独立地以概率 0.25 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？
n = 11p = 0.25
P =
5.正态分布中等
考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。介于 55.5 和 80.5 分 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 65σ = 10x1 = 55.5x2 = 80.5
P =
6.正态分布困难
智商分数 服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。拖动截断值，使阴影的前 75% 位于其右侧。求截断值 x。
μ = 100 分σ = 15 分75%
x = 分
7.置信区间中等
测量 7 名患者治疗前后的血压。差值 d = 治疗前 − 治疗后 (mmHg) 的均值为 −6.2，标准差为 5.8。 求平均差值的 99% 置信区间的上限。
n = 7d̄ = −6.2sd = 5.899%t(6) = 3.707
上限 = mmHg
8.置信区间困难
总体标准差为 17。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 2？
σ = 17E = 299%
n =
9.假设检验与置信区间中等
81 名学生的样本平均分为 74.6，样本标准差为 4。求 H₀: μ = 75 的检验统计量 t。
μ₀ = 75x̄ = 74.6s = 4n = 81
t =
10.假设检验与置信区间困难
25 次测量的样本均值为 72.8。总体标准差为 8。求均值 95% 置信区间的上限 U。
x̄ = 72.8σ = 8n = 2595%
U =
11.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。
n = 6Σx = 135Σy = 501Σx² = 3195Σy² = 45255Σxy = 12003
r =
12.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 56？
n = 6ŷ = 56
x =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 16.15
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 232/7 = 33.14
离差平方
Σ(x − x̄)² = 4.857² + (−10.14)² + 25.86² + 14.86² + (−3.143)² + (−13.14)² + (−19.14)² = 1565
标准差
s = √(1565/6) = 16.15
答案
s = 16.15
2.描述统计
答案: P = 0.1151
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = −1.2
标准正态分布表
Φ(−1.2) = 0.1151
P = 0.1151
答案
P = 0.1151
3.概率
答案: Var(X) = 1.24
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 1·0.25 + 2·0.3 + 3·0.3 + 4·0.1 + 5·0.05 = 2.4
平方的均值
E(X²) = 1·0.25 + 4·0.3 + 9·0.3 + 16·0.1 + 25·0.05 = 7
方差
Var(X) = 7 − 2.4² = 1.24
答案
Var(X) = 1.24
4.概率
答案: P = 0.1971
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
零个和一个失效
P(X = 0) = 0.7511 = 0.04224
P(X = 1) = 11·0.25·0.7510 = 0.1549
相加
P = 0.04224 + 0.1549 = 0.1971
答案
P = 0.1971
5.正态分布
答案: P = 0.7684
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (55.5 − 65)/10 = −0.95
z₂ = (80.5 − 65)/10 = 1.55
中间面积
P = Φ(1.55) − Φ(−0.95) = 0.9394 − 0.1711 = 0.7684
答案
P = 0.7684
6.正态分布
答案: x = 90 分
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.25
由表得到的 z
z ≈ −0.67
回到原来的单位
x = 100 − 0.67·15 = 90 分
答案
x = 90 分
7.置信区间
答案: 上限 = 1.926 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
临界值
df = 6, t = 3.707
误差范围
E = 3.707·5.8/√7 = 8.126
区间
−6.2 ± 8.126 → [−14.33, 1.926]
答案
上限 = 1.926 mmHg
8.置信区间
答案: n = 480
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (2.576·17/2)² = 479.4
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 480
答案
n = 480
9.假设检验与置信区间
答案: t = −0.9
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 4/√81 = 4/9 = 0.4444
检验统计量
t = (74.6 − 75)/0.4444 = −0.9
答案
t = −0.9
t0.025; df = 80 = 1.99
|t| < 1.99，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
10.假设检验与置信区间
答案: U = 75.94
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
误差范围
E = 1.96·8/√25 = 3.136
区间端点
U = 72.8 + 3.136 = 75.94
答案
U = 75.94
11.线性回归与相关
答案: r = 0.9951
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
中心化后的和
Sxy = 12003 − 135·501/6 = 730.5
Sxx = 3195 − 135²/6 = 157.5
Syy = 45255 − 501²/6 = 3422
相关系数
r = 730.5/√(157.5·3422) = 0.9951
答案
r = 0.9951
12.线性回归与相关
答案: x = 5.96
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 48/6 = 8
ȳ = 386/6 = 64.33
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 286
回归直线
b = 286/70 = 4.086
a = 64.33 − 4.086·8 = 31.65
ŷ = 31.65 + 4.086·x
解出 x
x = (56 − 31.65)/4.086 = 5.96
答案
x = 5.96
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