描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：39, 32, 57, 11, 33, 23。
n = 6
s =
2.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 100，标准差为 5。求成绩 105 的 z 分数 z。
μ = 100σ = 5x = 105
z =
3.概率中等
从 7 人中选出 3 人组成委员会，有多少种选法 N？顺序无关。
n = 7k = 3
N =
4.概率困难
测试 11 个元件，每个独立地以概率 0.5 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？
n = 11p = 0.5
P =
5.正态分布中等
配送时间服从正态分布，均值为 32 min，标准差为 6 min。介于 29 和 36.8 min 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 32σ = 6x1 = 29x2 = 36.8
P =
6.正态分布困难
智商分数 服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。拖动截断值，使阴影的后 20% 位于其左侧。求截断值 x。
μ = 100 分σ = 15 分20%
x = 分
7.置信区间中等
测量 10 名患者治疗前后的血压。差值 d = 治疗前 − 治疗后 (mmHg) 的均值为 9，标准差为 3.1。 求平均差值的 95% 置信区间的误差范围 E。
n = 10d̄ = 9sd = 3.195%t(9) = 2.262
E = mmHg
8.置信区间困难
总体标准差为 30。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 1？
σ = 30E = 190%
n =
9.假设检验与置信区间中等
11 名员工在培训课程前后各参加一次打字测试。记录每人的差值 d = 培训后 − 培训前（每分钟字数）。平均差值为 −3.39，差值的标准差为 4.5。求 H₀: μd = 0 的配对检验统计量 t。
n = 11d̄ = −3.39sd = 4.5
t =
10.假设检验与置信区间困难
在一项试验中，接受治疗 A 的 250 名患者中有 138 人康复，接受治疗 B 的 80 名患者中有 50 人康复。用合并比例求 H₀: p₁ = p₂ 的检验统计量 z。
x₁ = 138n₁ = 250x₂ = 50n₂ = 80
z =
11.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 求皮尔逊相关系数 r。
n = 6
r =
12.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 预测 x = 26 时的 ŷ。
n = 6x = 26
ŷ =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 15.46
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 195/6 = 32.5
离差平方
Σ(x − x̄)² = 6.5² + (−0.5)² + 24.5² + (−21.5)² + 0.5² + (−9.5)² = 1196
标准差
s = √(1196/5) = 15.46
答案
s = 15.46
2.描述统计
答案: z = 1
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (105 − 100)/5 = 1
答案
z = 1
3.概率
答案: N = 35
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
组合
C(7, 3) = (7·6·5)/(3·2·1) = 35
答案
N = 35
4.概率
答案: P = 0.005859
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
零个和一个失效
P(X = 0) = 0.511 = 0.0004883
P(X = 1) = 11·0.5·0.510 = 0.005371
相加
P = 0.0004883 + 0.005371 = 0.005859
答案
P = 0.005859
5.正态分布
答案: P = 0.4796
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (29 − 32)/6 = −0.5
z₂ = (36.8 − 32)/6 = 0.8
中间面积
P = Φ(0.8) − Φ(−0.5) = 0.7881 − 0.3085 = 0.4796
答案
P = 0.4796
6.正态分布
答案: x = 87.4 分
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.2
由表得到的 z
z ≈ −0.84
回到原来的单位
x = 100 − 0.84·15 = 87.4 分
答案
x = 87.4 分
7.置信区间
答案: E = 2.217 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
临界值
df = 9, t = 2.262
误差范围
E = 2.262·3.1/√10 = 2.217
答案
E = 2.217 mmHg
8.置信区间
答案: n = 2436
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (1.645·30/1)² = 2435
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 2436
答案
n = 2436
9.假设检验与置信区间
答案: t = −2.499
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
平均差值的标准误
SE = 4.5/√11 = 1.357
检验统计量
t = −3.39/1.357 = −2.499
答案
t = −2.499
df = 10 时，双侧 5% 的临界值为 2.228；|t| 更大，所以拒绝 H₀。
10.假设检验与置信区间
答案: z = −1.148
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
样本比例
p̂₁ = 138/250 = 0.552
p̂₂ = 50/80 = 0.625
p̂ = 188/330 = 0.5697
H₀ 下的标准误
SE = √(0.5697·0.4303·(1/250 + 1/80)) = 0.0636
检验统计量
z = (0.552 − 0.625)/0.0636 = −1.148
答案
z = −1.148
|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
11.线性回归与相关
答案: r = 0.982
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 94/6 = 15.67
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 150
Syy = Σ(y − ȳ)² = 333.3
相关系数
r = 150/√(70·333.3) = 0.982
答案
r = 0.982
12.线性回归与相关
答案: ŷ = 130.4
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 132/6 = 22
ȳ = 663/6 = 110.5
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 349
回归直线
b = 349/70 = 4.986
a = 110.5 − 4.986·22 = 0.8143
ŷ = 0.8143 + 4.986·x
预测
ŷ = 0.8143 + 4.986·26 = 130.4
答案
ŷ = 130.4
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