统计学基础：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：40, 38, 59, 34, 37, 28, 56。

n = 7

s =

2.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 50，标准差为 10。数值低于 30 的比例 P 是多少？

μ = 50σ = 10x = 30

P =

3.概率中等

袋中有 8 个红球和 6 个蓝球。不放回地依次摸出两个球。两个都是红球的概率 P 是多少？

8 / 6

P =

4.概率困难

测试 9 个元件，每个独立地以概率 0.3 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？

n = 9p = 0.3

P =

5.正态分布中等

拖动 z，使标准正态曲线下 −z 与 z 之间的阴影面积为 0.4907。求 z，保留两位小数。

A = 0.4907

z =

6.正态分布困难

一组人中男性的身高 X 与女性的身高 Y相互独立且服从正态分布：X 的均值为 180 cm，标准差为 10 cm，Y 的均值为 170 cm，标准差为 12 cm。求 X 大于 Y 的概率 P。z 取两位小数。

μ_X = 180 cm, σ_X = 10 cmμ_Y = 170 cm, σ_Y = 12 cm

P =

7.置信区间中等

一个包含 8 个个体的样本，均值为 27，标准差 s = 4.5。总体近似服从正态分布。求均值的 99% 置信区间的下限。

n = 8x̄ = 27s = 4.599%t(7) = 3.499

下限 =

8.置信区间困难

总体标准差为 38。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 5？

σ = 38E = 590%

n =

9.假设检验与置信区间中等

两条生产线生产同一种零件。生产线 1：100 个零件的样本平均长度为 122.5 mm，该生产线的已知标准差为 11 mm。生产线 2：60 个零件的样本均值为 116 mm，已知标准差为 15 mm。取差值为 x̄₁ − x̄₂（生产线 1 减生产线 2），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 z。

n₁ = 100x̄₁ = 122.5 mmσ₁ = 11 mmn₂ = 60x̄₂ = 116 mmσ₂ = 15 mm

z =

10.假设检验与置信区间困难

在一项试验中，接受治疗 A 的 120 名患者中有 54 人康复，接受治疗 B 的 80 名患者中有 31 人康复。用合并比例求 H₀: p₁ = p₂ 的检验统计量 z。

x₁ = 54n₁ = 120x₂ = 31n₂ = 80

z =

11.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。求最小二乘直线的决定系数 r²。

n = 5

r² =

12.线性回归与相关困难

表中给出 6 对观测值 x = 车龄（年）和 y = 价格 (k€)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 18？

n = 6ŷ = 18

x =

3溶液

1.描述统计

答案: s = 11.47

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 292/7 = 41.71

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−1.714)² + (−3.714)² + 17.29² + (−7.714)² + (−4.714)² + (−13.71)² + 14.29² = 789.4

标准差

s = √(789.4/6) = 11.47

答案

s = 11.47

2.描述统计

答案: P = 0.02275

标准化

z = −2

标准正态分布表

Φ(−2) = 0.02275

P = 0.02275

答案

P = 0.02275

3.概率

答案: P = 0.3077

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

第一次和第二次摸球

P = 8/14 · 7/13 = 56/182 = 0.3077

答案

P = 0.3077

4.概率

答案: P = 0.196

零个和一个失效

P(X = 0) = 0.7⁹ = 0.04035

P(X = 1) = 9·0.3·0.7⁸ = 0.1556

相加

P = 0.04035 + 0.1556 = 0.196

答案

P = 0.196

5.正态分布

答案: z = 0.66

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = (1 + 0.4907)/2 = 0.7454

反向查 z 表

在表中找到 0.7454，读出 z。

z = 0.66

答案

z = 0.66

6.正态分布

答案: P = 0.7389

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

差的分布

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15.62 cm

标准化

z = (0 − 10)/15.62 = −0.64

概率

P = 1 − Φ(−0.64) = 0.7389

答案

P = 0.7389

7.置信区间

答案: 下限 = 21.43

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 7, t = 3.499

误差范围

E = 3.499·4.5/√8 = 5.567

区间

27 ± 5.567 → [21.43, 32.57]

答案

下限 = 21.43

8.置信区间

答案: n = 157

解出 n

n = (1.645·38/5)² = 156.3

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 157

答案

n = 157

9.假设检验与置信区间

答案: z = 2.919

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

差值的标准误

SE = √(11²/100 + 15²/60) = √4.96 = 2.227

检验统计量

z = (122.5 − 116)/2.227 = 2.919

答案

z = 2.919

|z| > 1.96，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

10.假设检验与置信区间

答案: z = 0.8759

样本比例

p̂₁ = 54/120 = 0.45

p̂₂ = 31/80 = 0.3875

p̂ = 85/200 = 0.425

H₀ 下的标准误

SE = √(0.425·0.575·(1/120 + 1/80)) = 0.07135

检验统计量

z = (0.45 − 0.3875)/0.07135 = 0.8759

答案

z = 0.8759

|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。

11.线性回归与相关

答案: r² = 0.8923

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 254/5 = 50.8

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 54

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 326.8

决定系数

r² = 54²/(10·326.8) = 0.8923

答案

r² = 0.8923

y 的变异中约有 89.23% 可由该直线解释。

12.线性回归与相关

答案: x = 5.444

均值

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 129/6 = 21.5

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −31.5

回归直线

b = −31.5/17.5 = −1.8

a = 21.5 − (−1.8)·3.5 = 27.8

ŷ = 27.8 − 1.8·x

解出 x

x = (18 − 27.8)/(−1.8) = 5.444

答案

x = 5.444

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