描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：26, 32, 41, 36, 47, 20, 31。
n = 7
s =
2.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 500，标准差为 40。数值低于 540 的比例 P 是多少？
μ = 500σ = 40x = 540
P =
3.概率中等
一颗均匀骰子掷 6 次。至少掷出一次六点的概率 P 是多少？
n = 6
P =
4.概率困难
一份测试有 10 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.25，相互独立。恰好答对 2 题的概率 P 是多少？
n = 10p = 0.25k = 2
P =
5.正态分布中等
螺栓的质量相互独立，服从均值 40 g、标准差 1.2 g 的正态分布。求其中 10 个的总质量低于 396.2 g 的概率 P。z 取两位小数。
μ = 40 gσ = 1.2 gn = 10< 396.2 g
P =
6.正态分布困难
孔径 D 服从均值 25.05 mm、标准差 0.015 mm 的正态分布。轴径 d 独立，服从均值 25 mm、标准差 0.015 mm 的正态分布。随机选取的一根轴在 D − d > 0 时能装入。求它能装入的概率 P。z 取两位小数。
孔: μ = 25.05 mm, σ = 0.015 mm轴: μ = 25 mm, σ = 0.015 mm
P =
7.置信区间中等
基于 50 个观测值且 σ 已知的均值 90% 置信区间，其误差范围为 2.5。 用同样的数据计算 99% 区间，其误差范围 E₂ 是多少？
90%n₁ = 50E₁ = 2.599%
E₂ =
8.置信区间困难
对两种肥料进行试验。地块组 1：5 块地，平均产量 25.5 kg，标准差 6 kg。地块组 2：9 块地，均值 20.5 kg，标准差 2 kg。假设方差相等（合并 t，df = n₁ + n₂ − 2）。 求 μ₁ − μ₂ 的 90% 置信区间的上限。
n₁ = 5x̄₁ = 25.5s₁ = 6n₂ = 9x̄₂ = 20.5s₂ = 290%t(12) = 1.782
上限 = kg
9.假设检验与置信区间中等
25 名学生的样本平均分为 78.6，样本标准差为 15。求 H₀: μ = 75 的检验统计量 t。
μ₀ = 75x̄ = 78.6s = 15n = 25
t =
10.假设检验与置信区间困难
在一项试验中，接受治疗 A 的 150 名患者中有 90 人康复，接受治疗 B 的 300 名患者中有 195 人康复。用合并比例求 H₀: p₁ = p₂ 的检验统计量 z。
x₁ = 90n₁ = 150x₂ = 195n₂ = 300
z =
11.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 求最小二乘直线的决定系数 r²。
n = 5
r² =
12.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (1.5, 25)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 6(1.5, 25)
e =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 9.05
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 233/7 = 33.29
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−7.286)² + (−1.286)² + 7.714² + 2.714² + 13.71² + (−13.29)² + (−2.286)² = 491.4
标准差
s = √(491.4/6) = 9.05
答案
s = 9.05
2.描述统计
答案: P = 0.8413
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = 1
标准正态分布表
Φ(1) = 0.8413
P = 0.8413
答案
P = 0.8413
3.概率
答案: P = 0.6651
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
补事件
P(没有六点) = (5/6)6 = 0.3349
P = 1 − 0.3349 = 0.6651
答案
P = 0.6651
4.概率
答案: P = 0.2816
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
二项分布公式
P(X = 2) = 45·0.252·0.758 = 45·0.0625·0.1001 = 0.2816
答案
P = 0.2816
5.正态分布
答案: P = 0.1587
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
总和的分布
μT = 400 g, σT = 1.2·√10 = 3.795 g
标准化
z = (396.2 − 400)/3.795 = −1
概率
P = Φ(−1) = 0.1587
答案
P = 0.1587
6.正态分布
答案: P = 0.9909
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
差的分布
μ = 25.05 − 25 = 0.05 mm, σ = 0.02121 mm
标准化
z = (0 − 0.05)/0.02121 = −2.36
概率
P = 1 − Φ(−2.36) = 0.9909
答案
P = 0.9909
7.置信区间
答案: E₂ = 3.915
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
误差范围之比
E₂/E₁ = (2.576/1.645)·√(50/50) = 1.566
新的误差范围
E₂ = 2.5·1.566 = 3.915
答案
E₂ = 3.915
8.置信区间
答案: 上限 = 8.807 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
合并标准差
sp² = (4·6² + 8·2²)/12 = 14.67
sp = 3.83
误差范围
E = 1.782·3.83·√(1/5 + 1/9) = 3.807
区间
5 ± 3.807 → [1.193, 8.807]
答案
上限 = 8.807 kg
9.假设检验与置信区间
答案: t = 1.2
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 15/√25 = 15/5 = 3
检验统计量
t = (78.6 − 75)/3 = 1.2
答案
t = 1.2
t0.025; df = 24 = 2.064
|t| < 2.064，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
10.假设检验与置信区间
答案: z = −1.038
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
样本比例
p̂₁ = 90/150 = 0.6
p̂₂ = 195/300 = 0.65
p̂ = 285/450 = 0.6333
H₀ 下的标准误
SE = √(0.6333·0.3667·(1/150 + 1/300)) = 0.04819
检验统计量
z = (0.6 − 0.65)/0.04819 = −1.038
答案
z = −1.038
|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
11.线性回归与相关
答案: r² = 0.9343
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 254/5 = 50.8
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 42
Syy = Σ(y − ȳ)² = 188.8
决定系数
r² = 42²/(10·188.8) = 0.9343
答案
r² = 0.9343
y 的变异中约有 93.43% 可由该直线解释。
12.线性回归与相关
答案: e = 3.619
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 94/6 = 15.67
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −50
回归直线
b = −50/17.5 = −2.857
a = 15.67 − (−2.857)·3.5 = 25.67
ŷ = 25.67 − 2.857·x
预测值
ŷ = 25.67 + (−2.857)·1.5 = 21.38
残差
e = 25 − 21.38 = 3.619
答案
e = 3.619
该点位于直线上方。
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