描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：60, 39, 48, 53, 24。
n = 5
s =
2.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 60，标准差为 10。数值高于 55 的比例 P 是多少？
μ = 60σ = 10x = 55
P =
3.概率中等
袋中有 8 个红球和 6 个蓝球。不放回地依次摸出两个球。两个都是红球的概率 P 是多少？
8 / 6
P =
4.概率困难
一局游戏的参与费用为 €3。你以概率 0.2 赢得 €15，以概率 0.01 赢得 €150；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。
赌注 = €3€15: p = 0.2€150: p = 0.01
E(G) = €
5.正态分布中等
考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。介于 50.5 和 75.5 分 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 65σ = 10x1 = 50.5x2 = 75.5
P =
6.正态分布困难
考试成绩 服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。拖动截断值，使阴影的后 60% 位于其左侧。求截断值 x。
μ = 65 分σ = 10 分60%
x = 分
7.置信区间中等
测量 13 名患者治疗前后的血压。差值 d = 治疗前 − 治疗后 (mmHg) 的均值为 −0.6，标准差为 4.1。 求平均差值的 90% 置信区间的误差范围 E。
n = 13d̄ = −0.6sd = 4.190%t(12) = 1.782
E = mmHg
8.置信区间困难
总体标准差为 31。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 3？
σ = 31E = 395%
n =
9.假设检验与置信区间中等
11 名员工在培训课程前后各参加一次打字测试。记录每人的差值 d = 培训后 − 培训前（每分钟字数）。平均差值为 6.44，差值的标准差为 8.9。求 H₀: μd = 0 的配对检验统计量 t。
n = 11d̄ = 6.44sd = 8.9
t =
10.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.01 下的单侧 z 检验，必须以 80% 的功效检测出均值 3 个单位的偏移。标准差为 7。求最小样本量 n。
α = 0.01功效 = 80%δ = 3σ = 7zα = 2.326zβ = 0.842
n =
11.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 求皮尔逊相关系数 r。
n = 6
r =
12.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (2.5, 52)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 6(2.5, 52)
e =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 13.92
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 224/5 = 44.8
离差平方
Σ(x − x̄)² = 15.2² + (−5.8)² + 3.2² + 8.2² + (−20.8)² = 774.8
标准差
s = √(774.8/4) = 13.92
答案
s = 13.92
2.描述统计
答案: P = 0.6915
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = −0.5
标准正态分布表
Φ(−0.5) = 0.3085
P = 1 − 0.3085 = 0.6915
答案
P = 0.6915
3.概率
答案: P = 0.3077
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
第一次和第二次摸球
P = 8/14 · 7/13 = 56/182 = 0.3077
答案
P = 0.3077
4.概率
答案: E(G) = 1.5 €
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
净结果
G: 12 (p = 0.2), 147 (p = 0.01), −3 (p = 0.79)
期望值
E(G) = 12·0.2 + 147·0.01 − 3·0.79 = 1.5 €
答案
E(G) = 1.5 €
正值表示平均而言你会赢钱。
5.正态分布
答案: P = 0.7796
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (50.5 − 65)/10 = −1.45
z₂ = (75.5 − 65)/10 = 1.05
中间面积
P = Φ(1.05) − Φ(−1.45) = 0.8531 − 0.07353 = 0.7796
答案
P = 0.7796
6.正态分布
答案: x = 67.5 分
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.6
由表得到的 z
z ≈ 0.25
回到原来的单位
x = 65 + 0.25·10 = 67.5 分
答案
x = 67.5 分
7.置信区间
答案: E = 2.026 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
临界值
df = 12, t = 1.782
误差范围
E = 1.782·4.1/√13 = 2.026
答案
E = 2.026 mmHg
8.置信区间
答案: n = 411
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (1.96·31/3)² = 410.2
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 411
答案
n = 411
9.假设检验与置信区间
答案: t = 2.4
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
平均差值的标准误
SE = 8.9/√11 = 2.683
检验统计量
t = 6.44/2.683 = 2.4
答案
t = 2.4
df = 10 时，双侧 5% 的临界值为 2.228；|t| 更大，所以拒绝 H₀。
10.假设检验与置信区间
答案: n = 55
检验的样本量：在水平 α 下的单侧 z 检验中，要以功效 1 − β 检测出真实偏移 δ，标准误必须满足 δ = (z_α + z_β)·σ/√n，所以 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²，向上取整。
解出 n
n = ((2.326 + 0.842)·7/3)² = 54.64
向上取整
n = 55
答案
n = 55
11.线性回归与相关
答案: r = 0.9697
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 33/6 = 5.5
ȳ = 373/6 = 62.17
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 113.5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 782.8
相关系数
r = 113.5/√(17.5·782.8) = 0.9697
答案
r = 0.9697
12.线性回归与相关
答案: e = 5.471
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 27/6 = 4.5
ȳ = 333/6 = 55.5
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 78.5
回归直线
b = 78.5/17.5 = 4.486
a = 55.5 − 4.486·4.5 = 35.31
ŷ = 35.31 + 4.486·x
预测值
ŷ = 35.31 + 4.486·2.5 = 46.53
残差
e = 52 − 46.53 = 5.471
答案
e = 5.471
该点位于直线上方。
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