描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：21, 24, 27, 51, 49。
n = 5
s =
2.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 70，标准差为 8。求成绩 58 的 z 分数 z。
μ = 70σ = 8x = 58
z =
3.概率中等
对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.15, 0.35, 0.15, 0.35
Var(X) =
4.概率困难
测试 9 个元件，每个独立地以概率 0.4 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？
n = 9p = 0.4
P =
5.正态分布中等
箱子的质量相互独立，服从均值 12 kg、标准差 0.8 kg 的正态分布。求其中 4 个的总质量超过 49.6 kg 的概率 P。z 取两位小数。
μ = 12 kgσ = 0.8 kgn = 4> 49.6 kg
P =
6.正态分布困难
袋装重量服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。求数值 x，使得有 90% 的数据低于它（第 90 百分位数）。
μ = 250σ = 5P = 90%
x = g
7.置信区间中等
一个包含 7 个个体的样本，均值为 100，标准差 s = 13。总体近似服从正态分布。 求均值的 99% 置信区间的上限。
n = 7x̄ = 100s = 1399%t(6) = 3.707
上限 =
8.置信区间困难
事先对缺陷产品的比例一无所知。 必须检验多少件产品 n，才能使比例的 99% 置信区间的误差范围不超过 0.02？
p = 0.5E = 0.0299%
n =
9.假设检验与置信区间中等
两条生产线生产同一种零件。生产线 1：80 个零件的样本平均长度为 41.5 mm，该生产线的已知标准差为 8 mm。生产线 2：80 个零件的样本均值为 44.1 mm，已知标准差为 10 mm。取差值为 x̄₁ − x̄₂（生产线 1 减生产线 2），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 z。
n₁ = 80x̄₁ = 41.5 mmσ₁ = 8 mmn₂ = 80x̄₂ = 44.1 mmσ₂ = 10 mm
z =
10.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.10 下，用容量为 36 的样本对 H₀: μ = 500 与 H₁: μ > 500 进行单侧 z 检验；已知标准差为 6。实际上均值为 501.9。 求第二类错误的概率 β，以百分比表示。
μ₀ = 500μ = 501.9σ = 6n = 36α = 0.10
β = %
11.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 求皮尔逊相关系数 r。
n = 6
r =
12.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 21？
n = 5ŷ = 21
x =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 14.42
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 172/5 = 34.4
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−13.4)² + (−10.4)² + (−7.4)² + 16.6² + 14.6² = 831.2
标准差
s = √(831.2/4) = 14.42
答案
s = 14.42
2.描述统计
答案: z = −1.5
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (58 − 70)/8 = −1.5
答案
z = −1.5
3.概率
答案: Var(X) = 1.21
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 0·0.15 + 1·0.35 + 2·0.15 + 3·0.35 = 1.7
平方的均值
E(X²) = 0·0.15 + 1·0.35 + 4·0.15 + 9·0.35 = 4.1
方差
Var(X) = 4.1 − 1.7² = 1.21
答案
Var(X) = 1.21
4.概率
答案: P = 0.07054
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
零个和一个失效
P(X = 0) = 0.69 = 0.01008
P(X = 1) = 9·0.4·0.68 = 0.06047
相加
P = 0.01008 + 0.06047 = 0.07054
答案
P = 0.07054
5.正态分布
答案: P = 0.1587
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
总和的分布
μT = 48 kg, σT = 0.8·√4 = 1.6 kg
标准化
z = (49.6 − 48)/1.6 = 1
概率
P = 1 − Φ(1) = 0.1587
答案
P = 0.1587
6.正态分布
答案: x = 256.4 g
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.9 → z = 1.282
换算回 x
x = 250 + 1.282·5 = 256.41 g
答案
x = 256.41 g
7.置信区间
答案: 上限 = 118.2
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 6, t = 3.707
误差范围
E = 3.707·13/√7 = 18.21
区间
100 ± 18.21 → [81.79, 118.2]
答案
上限 = 118.2
8.置信区间
答案: n = 4148
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.
解出 n
n = 2.576²·0.5·0.5/0.02² = 4147
向上取整
n = 4148
答案
n = 4148
9.假设检验与置信区间
答案: z = −1.816
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
差值的标准误
SE = √(8²/80 + 10²/80) = √2.05 = 1.432
检验统计量
z = (41.5 − 44.1)/1.432 = −1.816
答案
z = −1.816
|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
10.假设检验与置信区间
答案: β = 26.83 %
检验功效：功效 = 1 − β，是 H₀ 为假时拒绝 H₀ 的概率。由 μ₀ 和 z_α 求出临界值 x̄c，再用真实均值计算落在 x̄c 以外的概率：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
临界样本均值
SE = 6/√36 = 1
x̄c = 500 + 1.282·1 = 501.3
真实均值下的 z
z = (501.3 − 501.9)/1 = −0.618
第二类错误
功效 = P(Z > −0.618) = 73.17%
β = 100% − 73.17% = 26.83%
答案
β = 26.83%
11.线性回归与相关
答案: r = 0.9906
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 95/6 = 15.83
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 157
Syy = Σ(y − ȳ)² = 358.8
相关系数
r = 157/√(70·358.8) = 0.9906
答案
r = 0.9906
12.线性回归与相关
答案: x = 3.545
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 108/5 = 21.6
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −11
回归直线
b = −11/10 = −1.1
a = 21.6 − (−1.1)·3 = 24.9
ŷ = 24.9 − 1.1·x
解出 x
x = (21 − 24.9)/(−1.1) = 3.545
答案
x = 3.545
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1