描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：15, 40, 12, 18, 49, 18, 37。
n = 7
s =
2.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 70，标准差为 10。数值低于 80 的比例 P 是多少？
μ = 70σ = 10x = 80
P =
3.概率中等
袋中有 7 个红球和 6 个蓝球。不放回地依次摸出两个球。两个都是红球的概率 P 是多少？
7 / 6
P =
4.概率困难
测试 7 个元件，每个独立地以概率 0.1 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？
n = 7p = 0.1
P =
5.正态分布中等
带行李的乘客的质量相互独立，服从均值 85 kg、标准差 12 kg 的正态分布。求其中 6 个的总质量低于 554.1 kg 的概率 P。z 取两位小数。
μ = 85 kgσ = 12 kgn = 6< 554.1 kg
P =
6.正态分布困难
孔径 D 服从均值 25.05 mm、标准差 0.015 mm 的正态分布。轴径 d 独立，服从均值 25 mm、标准差 0.02 mm 的正态分布。随机选取的一根轴在 D − d > 0 时能装入。求它能装入的概率 P。z 取两位小数。
孔: μ = 25.05 mm, σ = 0.015 mm轴: μ = 25 mm, σ = 0.02 mm
P =
7.置信区间中等
基于 100 个观测值且 σ 已知的均值 90% 置信区间，其误差范围为 8.7。 如果同一研究改用 25 个观测值，误差范围 E₂ 是多少？
90%n₁ = 100E₁ = 8.7n₂ = 25
E₂ =
8.置信区间困难
对两种肥料进行试验。地块组 1：19 块地，平均产量 26.5 kg，标准差 4.5 kg。地块组 2：7 块地，均值 15.5 kg，标准差 3.5 kg。假设方差相等（合并 t，df = n₁ + n₂ − 2）。 求 μ₁ − μ₂ 的 99% 置信区间的误差范围 E。
n₁ = 19x̄₁ = 26.5s₁ = 4.5n₂ = 7x̄₂ = 15.5s₂ = 3.599%t(24) = 2.797
E = kg
9.假设检验与置信区间中等
比较两种教学方法。第 1 组：6 名学生，平均分 25.5，标准差 6.5。第 2 组：20 名学生，平均分 19.7，标准差 7。假设总体方差相等，使用合并方差的两样本 t 检验。取差值为 x̄₁ − x̄₂（第 1 组减第 2 组），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 t。
n₁ = 6x̄₁ = 25.5s₁ = 6.5n₂ = 20x̄₂ = 19.7s₂ = 7
t =
10.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.10 下，用容量为 100 的样本对 H₀: μ = 100 与 H₁: μ > 100 进行单侧 z 检验；已知标准差为 5。实际上均值为 100.85。 求第二类错误的概率 β，以百分比表示。
μ₀ = 100μ = 100.85σ = 5n = 100α = 0.10
β = %
11.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 求皮尔逊相关系数 r。
n = 6
r =
12.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (25, 73)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 5(25, 73)
e =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 14.63
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 189/7 = 27
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−12)² + 13² + (−15)² + (−9)² + 22² + (−9)² + 10² = 1284
标准差
s = √(1284/6) = 14.63
答案
s = 14.63
2.描述统计
答案: P = 0.8413
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = 1
标准正态分布表
Φ(1) = 0.8413
P = 0.8413
答案
P = 0.8413
3.概率
答案: P = 0.2692
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
第一次和第二次摸球
P = 7/13 · 6/12 = 42/156 = 0.2692
答案
P = 0.2692
4.概率
答案: P = 0.8503
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
零个和一个失效
P(X = 0) = 0.97 = 0.4783
P(X = 1) = 7·0.1·0.96 = 0.372
相加
P = 0.4783 + 0.372 = 0.8503
答案
P = 0.8503
5.正态分布
答案: P = 0.9332
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
总和的分布
μT = 510 kg, σT = 12·√6 = 29.39 kg
标准化
z = (554.1 − 510)/29.39 = 1.5
概率
P = Φ(1.5) = 0.9332
答案
P = 0.9332
6.正态分布
答案: P = 0.9772
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
差的分布
μ = 25.05 − 25 = 0.05 mm, σ = 0.025 mm
标准化
z = (0 − 0.05)/0.025 = −2
概率
P = 1 − Φ(−2) = 0.9772
答案
P = 0.9772
7.置信区间
答案: E₂ = 17.4
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
误差范围之比
E₂/E₁ = (1.645/1.645)·√(100/25) = 2
新的误差范围
E₂ = 8.7·2 = 17.4
答案
E₂ = 17.4
8.置信区间
答案: E = 5.283 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
合并标准差
sp² = (18·4.5² + 6·3.5²)/24 = 18.25
sp = 4.272
误差范围
E = 2.797·4.272·√(1/19 + 1/7) = 5.283
答案
E = 5.283 kg
9.假设检验与置信区间
答案: t = 1.806
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
合并方差
sp² = (5·6.5² + 19·7²)/24 = 47.59
sp = 6.899
标准误
SE = 6.899·√(1/6 + 1/20) = 3.211
检验统计量
t = (25.5 − 19.7)/3.211 = 1.806
答案
t = 1.806
df = 24 时，双侧 5% 的临界值为 2.064；|t| 更小，所以不拒绝 H₀。
10.假设检验与置信区间
答案: β = 33.8 %
检验功效：功效 = 1 − β，是 H₀ 为假时拒绝 H₀ 的概率。由 μ₀ 和 z_α 求出临界值 x̄c，再用真实均值计算落在 x̄c 以外的概率：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
临界样本均值
SE = 5/√100 = 0.5
x̄c = 100 + 1.282·0.5 = 100.6
真实均值下的 z
z = (100.6 − 100.85)/0.5 = −0.418
第二类错误
功效 = P(Z > −0.418) = 66.2%
β = 100% − 66.2% = 33.8%
答案
β = 33.8%
11.线性回归与相关
答案: r = 0.9585
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 36/6 = 6
ȳ = 277/6 = 46.17
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 131
Syy = Σ(y − ȳ)² = 266.8
相关系数
r = 131/√(70·266.8) = 0.9585
答案
r = 0.9585
12.线性回归与相关
答案: e = 1.55
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 110/5 = 22
ȳ = 313/5 = 62.6
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 118
回归直线
b = 118/40 = 2.95
a = 62.6 − 2.95·22 = −2.3
ŷ = −2.3 + 2.95·x
预测值
ŷ = −2.3 + 2.95·25 = 71.45
残差
e = 73 − 71.45 = 1.55
答案
e = 1.55
该点位于直线上方。
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1