描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：50, 33, 11, 25, 39, 60, 14。
n = 7
s =
2.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 100，标准差为 8。求成绩 104.8 的 z 分数 z。
μ = 100σ = 8x = 104.8
z =
3.概率中等
对图中的分布，求 X 的标准差 σ。
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.1, 0.35, 0.2, 0.35
σ =
4.概率困难
一局游戏的参与费用为 €10。你以概率 0.2 赢得 €50，以概率 0.05 赢得 €100；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。
赌注 = €10€50: p = 0.2€100: p = 0.05
E(G) = €
5.正态分布中等
考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。介于 65.5 和 85.5 分 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 65σ = 10x1 = 65.5x2 = 85.5
P =
6.正态分布困难
袋装重量 服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。拖动截断值，使阴影的后 40% 位于其左侧。求截断值 x。
μ = 250 gσ = 5 g40%
x = g
7.置信区间中等
一个包含 10 个个体的样本，均值为 15.5，标准差 s = 2。总体近似服从正态分布。 求均值的 90% 置信区间的上限。
n = 10x̄ = 15.5s = 290%t(9) = 1.833
上限 =
8.置信区间困难
总体标准差为 38。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 1？
σ = 38E = 195%
n =
9.假设检验与置信区间中等
12 名员工在培训课程前后各参加一次打字测试。记录每人的差值 d = 培训后 − 培训前（每分钟字数）。平均差值为 6.21，差值的标准差为 8.6。求 H₀: μd = 0 的配对检验统计量 t。
n = 12d̄ = 6.21sd = 8.6
t =
10.假设检验与置信区间困难
16 次测量的样本均值为 492.8。总体标准差为 12。求均值 99% 置信区间的下限 L。
x̄ = 492.8σ = 12n = 1699%
L =
11.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 求皮尔逊相关系数 r。
n = 6
r =
12.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 18？
n = 5ŷ = 18
x =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 18.09
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 232/7 = 33.14
离差平方
Σ(x − x̄)² = 16.86² + (−0.1429)² + (−22.14)² + (−8.143)² + 5.857² + 26.86² + (−19.14)² = 1963
标准差
s = √(1963/6) = 18.09
答案
s = 18.09
2.描述统计
答案: z = 0.6
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (104.8 − 100)/8 = 0.6
答案
z = 0.6
3.概率
答案: σ = 10.3
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 10·0.1 + 20·0.35 + 30·0.2 + 40·0.35 = 28
平方的均值
E(X²) = 100·0.1 + 400·0.35 + 900·0.2 + 1600·0.35 = 890
方差
Var(X) = 890 − 28² = 106
σ = √106 = 10.3
答案
σ = 10.3
4.概率
答案: E(G) = 5 €
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
净结果
G: 40 (p = 0.2), 90 (p = 0.05), −10 (p = 0.75)
期望值
E(G) = 40·0.2 + 90·0.05 − 10·0.75 = 5 €
答案
E(G) = 5 €
正值表示平均而言你会赢钱。
5.正态分布
答案: P = 0.4599
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (65.5 − 65)/10 = 0.05
z₂ = (85.5 − 65)/10 = 2.05
中间面积
P = Φ(2.05) − Φ(0.05) = 0.9798 − 0.5199 = 0.4599
答案
P = 0.4599
6.正态分布
答案: x = 248.8 g
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.4
由表得到的 z
z ≈ −0.25
回到原来的单位
x = 250 − 0.25·5 = 248.8 g
答案
x = 248.8 g
7.置信区间
答案: 上限 = 16.66
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 9, t = 1.833
误差范围
E = 1.833·2/√10 = 1.159
区间
15.5 ± 1.159 → [14.34, 16.66]
答案
上限 = 16.66
8.置信区间
答案: n = 5548
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (1.96·38/1)² = 5547
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 5548
答案
n = 5548
9.假设检验与置信区间
答案: t = 2.501
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
平均差值的标准误
SE = 8.6/√12 = 2.483
检验统计量
t = 6.21/2.483 = 2.501
答案
t = 2.501
df = 11 时，双侧 5% 的临界值为 2.201；|t| 更大，所以拒绝 H₀。
10.假设检验与置信区间
答案: L = 485.1
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
误差范围
E = 2.576·12/√16 = 7.728
区间端点
L = 492.8 − 7.728 = 485.1
答案
L = 485.1
11.线性回归与相关
答案: r = 0.9271
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 27/6 = 4.5
ȳ = 396/6 = 66
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 76
Syy = Σ(y − ȳ)² = 384
相关系数
r = 76/√(17.5·384) = 0.9271
答案
r = 0.9271
12.线性回归与相关
答案: x = 2.5
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 83/5 = 16.6
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −28
回归直线
b = −28/10 = −2.8
a = 16.6 − (−2.8)·3 = 25
ŷ = 25 − 2.8·x
解出 x
x = (18 − 25)/(−2.8) = 2.5
答案
x = 2.5
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