描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：13, 57, 51, 24, 40, 30, 56。
n = 7
s =
2.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 50，标准差为 10。数值低于 42 的比例 P 是多少？
μ = 50σ = 10x = 42
P =
3.概率中等
袋中有 8 个红球和 4 个蓝球。不放回地依次摸出两个球。两个都是红球的概率 P 是多少？
8 / 4
P =
4.概率困难
X 的分布如图所示，Y = 3X + 10。求 Y 的标准差 σY。
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.15, 0.15, 0.05, 0.3, 0.35Y = 3X + 10
σY =
5.正态分布中等
X 服从均值 120 mm、标准差 0.3 mm 的正态分布；Y 独立，服从均值 80 mm、标准差 0.4 mm 的正态分布。求 X + Y 大于 200.8 mm 的概率 P。z 取两位小数。
μX = 120, σX = 0.3μY = 80, σY = 0.4X + Y > 200.8 mm
P =
6.正态分布困难
智商分数 服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。拖动截断值，使阴影的后 80% 位于其左侧。求截断值 x。
μ = 100 分σ = 15 分80%
x = 分
7.置信区间中等
一个包含 21 个个体的样本，均值为 113，标准差 s = 13.5。总体近似服从正态分布。 求均值的 95% 置信区间的误差范围 E。
n = 21x̄ = 113s = 13.595%t(20) = 2.086
E =
8.置信区间困难
对两种肥料进行试验。地块组 1：8 块地，平均产量 49.5 kg，标准差 5 kg。地块组 2：9 块地，均值 58.5 kg，标准差 7 kg。假设方差相等（合并 t，df = n₁ + n₂ − 2）。 求 μ₁ − μ₂ 的 90% 置信区间的误差范围 E。
n₁ = 8x̄₁ = 49.5s₁ = 5n₂ = 9x̄₂ = 58.5s₂ = 790%t(15) = 1.753
E = kg
9.假设检验与置信区间中等
两条生产线生产同一种零件。生产线 1：100 个零件的样本平均长度为 102.5 mm，该生产线的已知标准差为 3 mm。生产线 2：30 个零件的样本均值为 104 mm，已知标准差为 5 mm。取差值为 x̄₁ − x̄₂（生产线 1 减生产线 2），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 z。
n₁ = 100x̄₁ = 102.5 mmσ₁ = 3 mmn₂ = 30x̄₂ = 104 mmσ₂ = 5 mm
z =
10.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.05 下的单侧 z 检验，必须以 95% 的功效检测出均值 5 个单位的偏移。标准差为 28。求最小样本量 n。
α = 0.05功效 = 95%δ = 5σ = 28zα = 1.645zβ = 1.645
n =
11.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 求最小二乘直线的决定系数 r²。
n = 5
r² =
12.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 预测 x = 2.5 时的 ŷ。
n = 5x = 2.5
ŷ =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 17.03
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 271/7 = 38.71
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−25.71)² + 18.29² + 12.29² + (−14.71)² + 1.286² + (−8.714)² + 17.29² = 1739
标准差
s = √(1739/6) = 17.03
答案
s = 17.03
2.描述统计
答案: P = 0.2119
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = −0.8
标准正态分布表
Φ(−0.8) = 0.2119
P = 0.2119
答案
P = 0.2119
3.概率
答案: P = 0.4242
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
第一次和第二次摸球
P = 8/12 · 7/11 = 56/132 = 0.4242
答案
P = 0.4242
4.概率
答案: σY = 4.396
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
X 的离散程度
μ = 3.55, Var(X) = 2.148, σX = 1.465
线性变换
σY = |3|·1.465 = 4.396
答案
σY = 4.396
均值确实会改变：E(Y) = 3·3.55 + 10 = 20.65。
5.正态分布
答案: P = 0.0548
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
和的分布
μ = 200 mm, σ = √(0.3² + 0.4²) = 0.5 mm
标准化
z = (200.8 − 200)/0.5 = 1.6
上尾
P = 1 − Φ(1.6) = 1 − 0.9452 = 0.0548
答案
P = 0.0548
6.正态分布
答案: x = 112.6 分
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.8
由表得到的 z
z ≈ 0.84
回到原来的单位
x = 100 + 0.84·15 = 112.6 分
答案
x = 112.6 分
7.置信区间
答案: E = 6.145
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 20, t = 2.086
误差范围
E = 2.086·13.5/√21 = 6.145
答案
E = 6.145
8.置信区间
答案: E = 5.237 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
合并标准差
sp² = (7·5² + 8·7²)/15 = 37.8
sp = 6.148
误差范围
E = 1.753·6.148·√(1/8 + 1/9) = 5.237
答案
E = 5.237 kg
9.假设检验与置信区间
答案: z = −1.561
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
差值的标准误
SE = √(3²/100 + 5²/30) = √0.9233 = 0.9609
检验统计量
z = (102.5 − 104)/0.9609 = −1.561
答案
z = −1.561
|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
10.假设检验与置信区间
答案: n = 340
检验的样本量：在水平 α 下的单侧 z 检验中，要以功效 1 − β 检测出真实偏移 δ，标准误必须满足 δ = (z_α + z_β)·σ/√n，所以 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²，向上取整。
解出 n
n = ((1.645 + 1.645)·28/5)² = 339.4
向上取整
n = 340
答案
n = 340
11.线性回归与相关
答案: r² = 0.9662
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 90/5 = 18
ȳ = 512/5 = 102.4
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 250
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1617
决定系数
r² = 250²/(40·1617) = 0.9662
答案
r² = 0.9662
y 的变异中约有 96.62% 可由该直线解释。
12.线性回归与相关
答案: ŷ = 65.1
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 342/5 = 68.4
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 66
回归直线
b = 66/10 = 6.6
a = 68.4 − 6.6·3 = 48.6
ŷ = 48.6 + 6.6·x
预测
ŷ = 48.6 + 6.6·2.5 = 65.1
答案
ŷ = 65.1
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