描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：39, 28, 56, 47, 49, 53。
n = 6
s =
2.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 50，标准差为 15。数值低于 80 的比例 P 是多少？
μ = 50σ = 15x = 80
P =
3.概率中等
一颗均匀骰子掷 3 次。至少掷出一次六点的概率 P 是多少？
n = 3
P =
4.概率困难
一份测试有 8 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.2，相互独立。恰好答对 3 题的概率 P 是多少？
n = 8p = 0.2k = 3
P =
5.正态分布中等
X 服从均值 60 s、标准差 5 s 的正态分布；Y 独立，服从均值 45 s、标准差 4 s 的正态分布。求 X + Y 大于 98.6 s 的概率 P。z 取两位小数。
μX = 60, σX = 5μY = 45, σY = 4X + Y > 98.6 s
P =
6.正态分布困难
电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。求数值 x，使得有 25% 的数据低于它（第 25 百分位数）。
μ = 500σ = 40P = 25%
x = h
7.置信区间中等
比较两种手机型号的电池续航时间。型号 1：30 部手机，均值 146.5 h，已知标准差 9 h。型号 2：30 部手机，均值 142 h，已知标准差 18 h。 求 μ₁ − μ₂ 的 99% 置信区间的上限。
n₁ = 30x̄₁ = 146.5 hσ₁ = 9 hn₂ = 30x̄₂ = 142 hσ₂ = 18 h99%
上限 = h
8.置信区间困难
总体标准差为 6。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 0.5？
σ = 6E = 0.599%
n =
9.假设检验与置信区间中等
64 名学生的样本平均分为 198.7，样本标准差为 12。求 H₀: μ = 200 的检验统计量 t。
μ₀ = 200x̄ = 198.7s = 12n = 64
t =
10.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.05 下的单侧 z 检验，必须以 90% 的功效检测出均值 4 个单位的偏移。标准差为 29。求最小样本量 n。
α = 0.05功效 = 90%δ = 4σ = 29zα = 1.645zβ = 1.282
n =
11.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。
n = 6Σx = 21Σy = 126Σx² = 91Σy² = 2670Σxy = 421
r =
12.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 4？
n = 6ŷ = 4
x =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 10.29
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 272/6 = 45.33
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−6.333)² + (−17.33)² + 10.67² + 1.667² + 3.667² + 7.667² = 529.3
标准差
s = √(529.3/5) = 10.29
答案
s = 10.29
2.描述统计
答案: P = 0.9772
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = 2
标准正态分布表
Φ(2) = 0.9772
P = 0.9772
答案
P = 0.9772
3.概率
答案: P = 0.4213
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
补事件
P(没有六点) = (5/6)3 = 0.5787
P = 1 − 0.5787 = 0.4213
答案
P = 0.4213
4.概率
答案: P = 0.1468
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
二项分布公式
P(X = 3) = 56·0.23·0.85 = 56·0.008·0.3277 = 0.1468
答案
P = 0.1468
5.正态分布
答案: P = 0.8413
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
和的分布
μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6.403 s
标准化
z = (98.6 − 105)/6.403 = −1
上尾
P = 1 − Φ(−1) = 1 − 0.1587 = 0.8413
答案
P = 0.8413
6.正态分布
答案: x = 473 h
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.25 → z = −0.6745
换算回 x
x = 500 + −0.6745·40 = 473.02 h
答案
x = 473.02 h
7.置信区间
答案: 上限 = 13.96 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
点估计
x̄₁ − x̄₂ = 146.5 − 142 = 4.5
标准误
SE = √(9²/30 + 18²/30) = 3.674
误差范围
E = 2.576·3.674 = 9.465
区间
4.5 ± 9.465 → [−4.965, 13.96]
答案
上限 = 13.96 h
区间包含 0，所以数据没有显示出显著差异。
8.置信区间
答案: n = 956
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (2.576·6/0.5)² = 955.6
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 956
答案
n = 956
9.假设检验与置信区间
答案: t = −0.8667
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 12/√64 = 12/8 = 1.5
检验统计量
t = (198.7 − 200)/1.5 = −0.8667
答案
t = −0.8667
t0.025; df = 63 = 1.998
|t| < 1.998，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
10.假设检验与置信区间
答案: n = 451
检验的样本量：在水平 α 下的单侧 z 检验中，要以功效 1 − β 检测出真实偏移 δ，标准误必须满足 δ = (z_α + z_β)·σ/√n，所以 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²，向上取整。
解出 n
n = ((1.645 + 1.282)·29/4)² = 450.3
向上取整
n = 451
答案
n = 451
11.线性回归与相关
答案: r = −0.9759
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
中心化后的和
Sxy = 421 − 21·126/6 = −20
Sxx = 91 − 21²/6 = 17.5
Syy = 2670 − 126²/6 = 24
相关系数
r = −20/√(17.5·24) = −0.9759
答案
r = −0.9759
12.线性回归与相关
答案: x = 2.995
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 70/6 = 11.67
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 134
回归直线
b = 134/70 = 1.914
a = 11.67 − 1.914·7 = −1.733
ŷ = −1.733 + 1.914·x
解出 x
x = (4 − (−1.733))/1.914 = 2.995
答案
x = 2.995
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1