统计学基础：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：23, 45, 37, 26, 43。

n = 5

s =

2.描述统计困难

考试成绩服从正态分布，平均数为 50，标准差为 12。求成绩 54.8 的 z 分数 z。

μ = 50σ = 12x = 54.8

z =

3.概率中等

从 14 人中选出 5 人组成委员会，有多少种选法 N？顺序无关。

n = 14k = 5

N =

4.概率困难

一份测试有 9 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.25，相互独立。恰好答对 3 题的概率 P 是多少？

n = 9p = 0.25k = 3

P =

5.正态分布中等

X 服从均值 12 min、标准差 1.5 min 的正态分布；Y 独立，服从均值 20 min、标准差 2 min 的正态分布。求 X + Y 大于 30 min 的概率 P。z 取两位小数。

μ_X = 12, σ_X = 1.5μ_Y = 20, σ_Y = 2X + Y > 30 min

P =

6.正态分布困难

智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。求数值 x，使得有 99% 的数据低于它（第 99 百分位数）。

μ = 100σ = 15P = 99%

x = 分

7.置信区间中等

测量 7 名患者治疗前后的血压。差值 d = 治疗前 − 治疗后 (mmHg) 的均值为 5.5，标准差为 4.4。求平均差值的 99% 置信区间的上限。

n = 7d̄ = 5.5s_d = 4.499%t(6) = 3.707

上限 = mmHg

8.置信区间困难

对两种肥料进行试验。地块组 1：7 块地，平均产量 94.5 kg，标准差 3.5 kg。地块组 2：5 块地，均值 102 kg，标准差 9 kg。假设方差相等（合并 t，df = n₁ + n₂ − 2）。求 μ₁ − μ₂ 的 90% 置信区间的上限。

n₁ = 7x̄₁ = 94.5s₁ = 3.5n₂ = 5x̄₂ = 102s₂ = 990%t(10) = 1.812

上限 = kg

9.假设检验与置信区间中等

两条生产线生产同一种零件。生产线 1：50 个零件的样本平均长度为 108 mm，该生产线的已知标准差为 9 mm。生产线 2：30 个零件的样本均值为 117.2 mm，已知标准差为 16 mm。取差值为 x̄₁ − x̄₂（生产线 1 减生产线 2），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 z。

n₁ = 50x̄₁ = 108 mmσ₁ = 9 mmn₂ = 30x̄₂ = 117.2 mmσ₂ = 16 mm

z =

10.假设检验与置信区间困难

样本至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 1？标准差为 20。求最小样本量 n。

σ = 20E = 199%

n =

11.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 学习小时数和 y = 考试成绩。求最小二乘直线的决定系数 r²。

n = 5

r² =

12.线性回归与相关困难

表中给出 6 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。预测 x = 25 时的 ŷ。

n = 6x = 25

ŷ =

3溶液

1.描述统计

答案: s = 9.91

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 174/5 = 34.8

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−11.8)² + 10.2² + 2.2² + (−8.8)² + 8.2² = 392.8

标准差

s = √(392.8/4) = 9.91

答案

s = 9.91

2.描述统计

答案: z = 0.4

标准化

z = (54.8 − 50)/12 = 0.4

答案

z = 0.4

3.概率

答案: N = 2002

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

组合

C(14, 5) = (14·13·12·11·10)/(5·4·3·2·1) = 2002

答案

N = 2002

4.概率

答案: P = 0.2336

二项分布公式

P(X = 3) = 84·0.25³·0.75⁶ = 84·0.01563·0.178 = 0.2336

答案

P = 0.2336

5.正态分布

答案: P = 0.7881

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

和的分布

μ = 32 min, σ = √(1.5² + 2²) = 2.5 min

标准化

z = (30 − 32)/2.5 = −0.8

上尾

P = 1 − Φ(−0.8) = 1 − 0.2119 = 0.7881

答案

P = 0.7881

6.正态分布

答案: x = 134.9 分

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.99 → z = 2.326

换算回 x

x = 100 + 2.326·15 = 134.89 分

答案

x = 134.89 分

7.置信区间

答案: 上限 = 11.66 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

临界值

df = 6, t = 3.707

误差范围

E = 3.707·4.4/√7 = 6.165

区间

5.5 ± 6.165 → [−0.6649, 11.66]

答案

上限 = 11.66 mmHg

8.置信区间

答案: 上限 = −0.8107 kg

合并标准差

s_p² = (6·3.5² + 4·9²)/10 = 39.75

s_p = 6.305

误差范围

E = 1.812·6.305·√(1/7 + 1/5) = 6.689

区间

−7.5 ± 6.689 → [−14.19, −0.8107]

答案

上限 = −0.8107 kg

9.假设检验与置信区间

答案: z = −2.887

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

差值的标准误

SE = √(9²/50 + 16²/30) = √10.15 = 3.186

检验统计量

z = (108 − 117.2)/3.186 = −2.887

答案

z = −2.887

|z| > 1.96，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

10.假设检验与置信区间

答案: n = 2655

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

解出 n

n = (2.576·20/1)² = 2654

向上取整

n = 2655

答案

n = 2655

11.线性回归与相关

答案: r² = 0.9109

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 403/5 = 80.6

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 60

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 395.2

决定系数

r² = 60²/(10·395.2) = 0.9109

答案

r² = 0.9109

y 的变异中约有 91.09% 可由该直线解释。

12.线性回归与相关

答案: ŷ = 122.1

均值

x̄ = 138/6 = 23

ȳ = 674/6 = 112.3

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 342

回归直线

b = 342/70 = 4.886

a = 112.3 − 4.886·23 = −0.0381

ŷ = −0.0381 + 4.886·x

预测

ŷ = −0.0381 + 4.886·25 = 122.1

答案

ŷ = 122.1

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