描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：44, 16, 32, 37, 53, 13, 48。
n = 7
s =
2.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 170，标准差为 5。求成绩 180 的 z 分数 z。
μ = 170σ = 5x = 180
z =
3.概率中等
袋中有 8 个红球和 3 个蓝球。不放回地依次摸出两个球。两个都是红球的概率 P 是多少？
8 / 3
P =
4.概率困难
一份测试有 10 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.5，相互独立。恰好答对 3 题的概率 P 是多少？
n = 10p = 0.5k = 3
P =
5.正态分布中等
螺栓的质量相互独立，服从均值 40 g、标准差 1.2 g 的正态分布。求其中 9 个的总质量超过 358.2 g 的概率 P。z 取两位小数。
μ = 40 gσ = 1.2 gn = 9> 358.2 g
P =
6.正态分布困难
运动员 A 的单圈时间 X 与运动员 B 的单圈时间 Y相互独立且服从正态分布：X 的均值为 52 s，标准差为 4 s，Y 的均值为 48 s，标准差为 3 s。求 X 大于 Y 的概率 P。z 取两位小数。
μX = 52 s, σX = 4 sμY = 48 s, σY = 3 s
P =
7.置信区间中等
一个包含 21 个个体的样本，均值为 45.5，标准差 s = 7.5。总体近似服从正态分布。 求均值的 90% 置信区间的误差范围 E。
n = 21x̄ = 45.5s = 7.590%t(20) = 1.725
E =
8.置信区间困难
对两种肥料进行试验。地块组 1：5 块地，平均产量 28.5 kg，标准差 3.5 kg。地块组 2：9 块地，均值 23 kg，标准差 2 kg。假设方差相等（合并 t，df = n₁ + n₂ − 2）。 求 μ₁ − μ₂ 的 95% 置信区间的下限。
n₁ = 5x̄₁ = 28.5s₁ = 3.5n₂ = 9x̄₂ = 23s₂ = 295%t(12) = 2.179
下限 = kg
9.假设检验与置信区间中等
据称某总体的均值为 50；已知总体标准差为 3。一个含 36 个观测值的随机样本均值为 48.77。检验 H₀: μ = 50 对 H₁: μ < 50。求 p 值 p。
μ₀ = 50σ = 3n = 36x̄ = 48.77H₁: μ < μ₀
p =
10.假设检验与置信区间困难
25 次测量的样本均值为 52.4。总体标准差为 10。求均值 99% 置信区间的上限 U。
x̄ = 52.4σ = 10n = 2599%
U =
11.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 求最小二乘直线的决定系数 r²。
n = 5
r² =
12.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (9, 26)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 5(9, 26)
e =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 15.45
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 243/7 = 34.71
离差平方
Σ(x − x̄)² = 9.286² + (−18.71)² + (−2.714)² + 2.286² + 18.29² + (−21.71)² + 13.29² = 1431
标准差
s = √(1431/6) = 15.45
答案
s = 15.45
2.描述统计
答案: z = 2
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (180 − 170)/5 = 2
答案
z = 2
3.概率
答案: P = 0.5091
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
第一次和第二次摸球
P = 8/11 · 7/10 = 56/110 = 0.5091
答案
P = 0.5091
4.概率
答案: P = 0.1172
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
二项分布公式
P(X = 3) = 120·0.53·0.57 = 120·0.125·0.007813 = 0.1172
答案
P = 0.1172
5.正态分布
答案: P = 0.6915
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
总和的分布
μT = 360 g, σT = 1.2·√9 = 3.6 g
标准化
z = (358.2 − 360)/3.6 = −0.5
概率
P = 1 − Φ(−0.5) = 0.6915
答案
P = 0.6915
6.正态分布
答案: P = 0.7881
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
差的分布
μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s
标准化
z = (0 − 4)/5 = −0.8
概率
P = 1 − Φ(−0.8) = 0.7881
答案
P = 0.7881
7.置信区间
答案: E = 2.823
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 20, t = 1.725
误差范围
E = 1.725·7.5/√21 = 2.823
答案
E = 2.823
8.置信区间
答案: 下限 = 2.342 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
合并标准差
sp² = (4·3.5² + 8·2²)/12 = 6.75
sp = 2.598
误差范围
E = 2.179·2.598·√(1/5 + 1/9) = 3.158
区间
5.5 ± 3.158 → [2.342, 8.658]
答案
下限 = 2.342 kg
9.假设检验与置信区间
答案: p = 0.006947
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
检验统计量
SE = σ/√n = 3/√36 = 0.5
z = (48.77 − 50)/0.5 = −2.46
尾部面积
Φ(2.46) = 0.9931
1 − Φ(2.46) = 0.0069
p 值
p = 0.006947
答案
p = 0.006947
p ≤ 0.05，所以在 5% 水平下拒绝 H₀。
10.假设检验与置信区间
答案: U = 57.55
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
误差范围
E = 2.576·10/√25 = 5.152
区间端点
U = 52.4 + 5.152 = 57.55
答案
U = 57.55
11.线性回归与相关
答案: r² = 0.9898
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 64/5 = 12.8
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 86
Syy = Σ(y − ȳ)² = 186.8
决定系数
r² = 86²/(40·186.8) = 0.9898
答案
r² = 0.9898
y 的变异中约有 98.98% 可由该直线解释。
12.线性回归与相关
答案: e = 4.4
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 72/5 = 14.4
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 96
回归直线
b = 96/40 = 2.4
a = 14.4 − 2.4·6 = 0
ŷ = 0 + 2.4·x
预测值
ŷ = 0 + 2.4·9 = 21.6
残差
e = 26 − 21.6 = 4.4
答案
e = 4.4
该点位于直线上方。
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