统计学基础：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：11, 43, 26, 27, 33, 58, 33。

n = 7

s =

2.描述统计困难

考试成绩服从正态分布，平均数为 60，标准差为 5。求成绩 52.5 的 z 分数 z。

μ = 60σ = 5x = 52.5

z =

3.概率中等

袋中有 5 个红球和 8 个蓝球。不放回地依次摸出两个球。两个都是红球的概率 P 是多少？

5 / 8

P =

4.概率困难

一局游戏的参与费用为 €1。你以概率 0.2 赢得 €4，以概率 0.05 赢得 €20；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。

赌注 = €1€4: p = 0.2€20: p = 0.05

E(G) = €

5.正态分布中等

箱子的质量相互独立，服从均值 12 kg、标准差 0.8 kg 的正态分布。求其中 9 个的总质量超过 105.6 kg 的概率 P。z 取两位小数。

μ = 12 kgσ = 0.8 kgn = 9> 105.6 kg

P =

6.正态分布困难

电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。拖动截断值，使阴影的前 40% 位于其右侧。求截断值 x。

μ = 500 hσ = 40 h40%

x = h

7.置信区间中等

基于 64 个观测值且 σ 已知的均值 95% 置信区间，其误差范围为 4.8。如果同一研究改用 576 个观测值，误差范围 E₂ 是多少？

95%n₁ = 64E₁ = 4.8n₂ = 576

E₂ =

8.置信区间困难

11 根机加工轴的直径样本标准差为 1.8 µm。假设直径服从正态分布，求总体标准差 95% 置信区间的下限 σ。df = 10 时，χ² 分布有 2.5% 位于 3.247 以下，2.5% 位于 20.483 以上。

n = 11s = 1.8 µmχ² = 3.247, 20.483

σ = µm

9.假设检验与置信区间中等

16 名学生的样本平均分为 91，样本标准差为 20。求 H₀: μ = 100 的检验统计量 t。

μ₀ = 100x̄ = 91s = 20n = 16

t =

10.假设检验与置信区间困难

样本至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 0.5？标准差为 10。求最小样本量 n。

σ = 10E = 0.590%

n =

11.线性回归与相关中等

表中给出 6 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。求最小二乘直线的决定系数 r²。

n = 6

r² =

12.线性回归与相关困难

表中给出 6 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。新得到一个观测值 (21, 83)。求其残差 e = y − ŷ。

n = 6(21, 83)

e =

3溶液

1.描述统计

答案: s = 14.69

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 231/7 = 33

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−22)² + 10² + (−7)² + (−6)² + 0² + 25² + 0² = 1294

标准差

s = √(1294/6) = 14.69

答案

s = 14.69

2.描述统计

答案: z = −1.5

标准化

z = (52.5 − 60)/5 = −1.5

答案

z = −1.5

3.概率

答案: P = 0.1282

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

第一次和第二次摸球

P = 5/13 · 4/12 = 20/156 = 0.1282

答案

P = 0.1282

4.概率

答案: E(G) = 0.8 €

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

净结果

G: 3 (p = 0.2), 19 (p = 0.05), −1 (p = 0.75)

期望值

E(G) = 3·0.2 + 19·0.05 − 1·0.75 = 0.8 €

答案

E(G) = 0.8 €

正值表示平均而言你会赢钱。

5.正态分布

答案: P = 0.8413

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

总和的分布

μ_T = 108 kg, σ_T = 0.8·√9 = 2.4 kg

标准化

z = (105.6 − 108)/2.4 = −1

概率

P = 1 − Φ(−1) = 0.8413

答案

P = 0.8413

6.正态分布

答案: x = 510 h

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

左侧的面积

Φ(z) = 0.6

由表得到的 z

z ≈ 0.25

回到原来的单位

x = 500 + 0.25·40 = 510 h

答案

x = 510 h

7.置信区间

答案: E₂ = 1.6

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

误差范围之比

E₂/E₁ = (1.96/1.96)·√(64/576) = 0.3333

新的误差范围

E₂ = 4.8·0.3333 = 1.6

答案

E₂ = 1.6

8.置信区间

答案: σ = 1.258 µm

方差的区间：(n − 1)s²/σ² 服从自由度为 n − 1 的 χ² 分布。σ² 的 95% 区间从 (n − 1)s² 除以上侧 χ² 值（其上方占 2.5%）到 (n − 1)s² 除以下侧 χ² 值（其下方占 2.5%）；σ 的区间是这两个限值的平方根。它关于 s 不对称。

平方和

(n − 1)s² = 10·1.8² = 32.4

σ² 的限值

32.4/20.483 = 1.582

32.4/3.247 = 9.978

σ 的限值

σ = √1.582 = 1.258 µm

答案

σ = 1.258 µm

σ 的 95% 区间：[1.258, 3.159] µm。

9.假设检验与置信区间

答案: t = −1.8

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 20/√16 = 20/4 = 5

检验统计量

t = (91 − 100)/5 = −1.8

答案

t = −1.8

t_{0.025; df = 15} = 2.131

|t| < 2.131，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。

10.假设检验与置信区间

答案: n = 1083

解出 n

n = (1.645·10/0.5)² = 1082

向上取整

n = 1083

答案

n = 1083

11.线性回归与相关

答案: r² = 0.9907

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 141/6 = 23.5

ȳ = 472/6 = 78.67

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 585

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 2193

决定系数

r² = 585²/(157.5·2193) = 0.9907

答案

r² = 0.9907

y 的变异中约有 99.07% 可由该直线解释。

12.线性回归与相关

答案: e = −4.39

均值

x̄ = 138/6 = 23

ȳ = 572/6 = 95.33

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 278

回归直线

b = 278/70 = 3.971

a = 95.33 − 3.971·23 = 3.99

ŷ = 3.99 + 3.971·x

预测值

ŷ = 3.99 + 3.971·21 = 87.39

残差

e = 83 − 87.39 = −4.39

答案

e = −4.39

该点位于直线下方。

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1