统计学基础：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：23, 56, 33, 59, 22, 17。

n = 6

s =

2.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 170，标准差为 15。数值低于 140 的比例 P 是多少？

μ = 170σ = 15x = 140

P =

3.概率中等

从 6 人中选出 2 人组成委员会，有多少种选法 N？顺序无关。

n = 6k = 2

N =

4.概率困难

测试 11 个元件，每个独立地以概率 0.1 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？

n = 11p = 0.1

P =

5.正态分布中等

成年男性的身高服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。介于 169.95 和 181.5 cm 之间的比例是多少？P 以小数表示。

μ = 178σ = 7x₁ = 169.95x₂ = 181.5

P =

6.正态分布困难

孔径 D 服从均值 25.03 mm、标准差 0.02 mm 的正态分布。轴径 d 独立，服从均值 25 mm、标准差 0.02 mm 的正态分布。随机选取的一根轴在 D − d > 0 时能装入。求它能装入的概率 P。z 取两位小数。

孔: μ = 25.03 mm, σ = 0.02 mm轴: μ = 25 mm, σ = 0.02 mm

P =

7.置信区间中等

一个包含 10 个个体的样本，均值为 22.5，标准差 s = 13.5。总体近似服从正态分布。求均值的 90% 置信区间的下限。

n = 10x̄ = 22.5s = 13.590%t(9) = 1.833

下限 =

8.置信区间困难

总体标准差为 38。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 1.5？

σ = 38E = 1.590%

n =

9.假设检验与置信区间中等

据称某总体的均值为 500；已知总体标准差为 6。一个含 36 个观测值的随机样本均值为 498.9。检验 H₀: μ = 500 对 H₁: μ ≠ 500。求 p 值 p。

μ₀ = 500σ = 6n = 36x̄ = 498.9H₁: μ ≠ μ₀

p =

10.假设检验与置信区间困难

样本至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 2？标准差为 5。求最小样本量 n。

σ = 5E = 295%

n =

11.线性回归与相关中等

表中给出 6 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。求最小二乘直线的决定系数 r²。

n = 6

r² =

12.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。新得到一个观测值 (7, 19)。求其残差 e = y − ŷ。

n = 5(7, 19)

e =

3溶液

1.描述统计

答案: s = 18.21

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 210/6 = 35

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−12)² + 21² + (−2)² + 24² + (−13)² + (−18)² = 1658

标准差

s = √(1658/5) = 18.21

答案

s = 18.21

2.描述统计

答案: P = 0.02275

标准化

z = −2

标准正态分布表

Φ(−2) = 0.02275

P = 0.02275

答案

P = 0.02275

3.概率

答案: N = 15

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

组合

C(6, 2) = (6·5)/(2·1) = 15

答案

N = 15

4.概率

答案: P = 0.6974

零个和一个失效

P(X = 0) = 0.9¹¹ = 0.3138

P(X = 1) = 11·0.1·0.9¹⁰ = 0.3835

相加

P = 0.3138 + 0.3835 = 0.6974

答案

P = 0.6974

5.正态分布

答案: P = 0.5664

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

z 分数

z₁ = (169.95 − 178)/7 = −1.15

z₂ = (181.5 − 178)/7 = 0.5

中间面积

P = Φ(0.5) − Φ(−1.15) = 0.6915 − 0.1251 = 0.5664

答案

P = 0.5664

6.正态分布

答案: P = 0.8554

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

差的分布

μ = 25.03 − 25 = 0.03 mm, σ = 0.02828 mm

标准化

z = (0 − 0.03)/0.02828 = −1.06

概率

P = 1 − Φ(−1.06) = 0.8554

答案

P = 0.8554

7.置信区间

答案: 下限 = 14.67

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 9, t = 1.833

误差范围

E = 1.833·13.5/√10 = 7.825

区间

22.5 ± 7.825 → [14.67, 30.33]

答案

下限 = 14.67

8.置信区间

答案: n = 1737

解出 n

n = (1.645·38/1.5)² = 1737

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 1737

答案

n = 1737

9.假设检验与置信区间

答案: p = 0.2713

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

检验统计量

SE = σ/√n = 6/√36 = 1

z = (498.9 − 500)/1 = −1.1

尾部面积

Φ(1.1) = 0.8643

1 − Φ(1.1) = 0.1357

p 值

p = 2·0.1357 = 0.2713

答案

p = 0.2713

p > 0.05，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀。

10.假设检验与置信区间

答案: n = 25

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

解出 n

n = (1.96·5/2)² = 24.01

向上取整

n = 25

答案

n = 25

11.线性回归与相关

答案: r² = 0.9703

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 135/6 = 22.5

ȳ = 512/6 = 85.33

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 585

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 2239

决定系数

r² = 585²/(157.5·2239) = 0.9703

答案

r² = 0.9703

y 的变异中约有 97.03% 可由该直线解释。

12.线性回归与相关

答案: e = 3.15

均值

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 68/5 = 13.6

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 90

回归直线

b = 90/40 = 2.25

a = 13.6 − 2.25·6 = 0.1

ŷ = 0.1 + 2.25·x

预测值

ŷ = 0.1 + 2.25·7 = 15.85

残差

e = 19 − 15.85 = 3.15

答案

e = 3.15

该点位于直线上方。

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