统计学基础：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：47, 58, 59, 57, 36, 52, 25。

n = 7

s =

2.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 50，标准差为 12。数值低于 68 的比例 P 是多少？

μ = 50σ = 12x = 68

P =

3.概率中等

从 11 人中选出 3 人组成委员会，有多少种选法 N？顺序无关。

n = 11k = 3

N =

4.概率困难

X 的分布如图所示，Y = 3X + 4。求 Y 的标准差 σ_Y。

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.15, 0.25, 0.15, 0.2, 0.25Y = 3X + 4

σ_Y =

5.正态分布中等

拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.2643。求 z，保留两位小数。

A = 0.2643

z =

6.正态分布困难

袋装重量服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。拖动截断值，使阴影的前 60% 位于其右侧。求截断值 x。

μ = 250 gσ = 5 g60%

x = g

7.置信区间中等

比较两种手机型号的电池续航时间。型号 1：100 部手机，均值 146.5 h，已知标准差 19 h。型号 2：40 部手机，均值 152.5 h，已知标准差 11 h。求 μ₁ − μ₂ 的 99% 置信区间的上限。

n₁ = 100x̄₁ = 146.5 hσ₁ = 19 hn₂ = 40x̄₂ = 152.5 hσ₂ = 11 h99%

上限 = h

8.置信区间困难

一项预研究表明，约有 0.15 的产品有缺陷。必须检验多少件产品 n，才能使比例的 95% 置信区间的误差范围不超过 0.02？

p ≈ 0.15E = 0.0295%

n =

9.假设检验与置信区间中等

两条生产线生产同一种零件。生产线 1：50 个零件的样本平均长度为 144.5 mm，该生产线的已知标准差为 20 mm。生产线 2：40 个零件的样本均值为 141.1 mm，已知标准差为 3 mm。取差值为 x̄₁ − x̄₂（生产线 1 减生产线 2），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 z。

n₁ = 50x̄₁ = 144.5 mmσ₁ = 20 mmn₂ = 40x̄₂ = 141.1 mmσ₂ = 3 mm

z =

10.假设检验与置信区间困难

样本至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 1.5？标准差为 15。求最小样本量 n。

σ = 15E = 1.590%

n =

11.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 车龄（年）和 y = 价格 (k€)。求皮尔逊相关系数 r。

n = 5

r =

12.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。新得到一个观测值 (24.5, 106)。求其残差 e = y − ŷ。

n = 5(24.5, 106)

e =

3溶液

1.描述统计

答案: s = 12.85

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 334/7 = 47.71

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−0.7143)² + 10.29² + 11.29² + 9.286² + (−11.71)² + 4.286² + (−22.71)² = 991.4

标准差

s = √(991.4/6) = 12.85

答案

s = 12.85

2.描述统计

答案: P = 0.9332

标准化

z = 1.5

标准正态分布表

Φ(1.5) = 0.9332

P = 0.9332

答案

P = 0.9332

3.概率

答案: N = 165

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

组合

C(11, 3) = (11·10·9)/(3·2·1) = 165

答案

N = 165

4.概率

答案: σ_Y = 4.272

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

X 的离散程度

μ = 3.15, Var(X) = 2.027, σ_X = 1.424

线性变换

σ_Y = |3|·1.424 = 4.272

答案

σ_Y = 4.272

均值确实会改变：E(Y) = 3·3.15 + 4 = 13.45。

5.正态分布

答案: z = 0.63

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = 1 − 0.2643 = 0.7357

反向查 z 表

在表中找到 0.7357，读出 z。

z = 0.63

答案

z = 0.63

6.正态分布

答案: x = 248.8 g

左侧的面积

Φ(z) = 0.4

由表得到的 z

z ≈ −0.25

回到原来的单位

x = 250 − 0.25·5 = 248.8 g

答案

x = 248.8 g

7.置信区间

答案: 上限 = 0.6354 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

点估计

x̄₁ − x̄₂ = 146.5 − 152.5 = −6

标准误

SE = √(19²/100 + 11²/40) = 2.576

误差范围

E = 2.576·2.576 = 6.635

区间

−6 ± 6.635 → [−12.64, 0.6354]

答案

上限 = 0.6354 h

区间包含 0，所以数据没有显示出显著差异。

8.置信区间

答案: n = 1225

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

解出 n

n = 1.96²·0.15·0.85/0.02² = 1225

向上取整

n = 1225

答案

n = 1225

9.假设检验与置信区间

答案: z = 1.186

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

差值的标准误

SE = √(20²/50 + 3²/40) = √8.225 = 2.868

检验统计量

z = (144.5 − 141.1)/2.868 = 1.186

答案

z = 1.186

|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。

10.假设检验与置信区间

答案: n = 271

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

解出 n

n = (1.645·15/1.5)² = 270.6

向上取整

n = 271

答案

n = 271

11.线性回归与相关

答案: r = −0.9848

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 99/5 = 19.8

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −30

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 92.8

答案

r = −0.9848

12.线性回归与相关

答案: e = 2.05

均值

x̄ = 115/5 = 23

ȳ = 488/5 = 97.6

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 381

回归直线

b = 381/90 = 4.233

a = 97.6 − 4.233·23 = 0.2333

ŷ = 0.2333 + 4.233·x

预测值

ŷ = 0.2333 + 4.233·24.5 = 103.9

残差

e = 106 − 103.9 = 2.05

答案

e = 2.05

该点位于直线上方。

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