描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：49, 19, 21, 26, 44, 11。
n = 6
s =
2.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 170，标准差为 12。求成绩 164 的 z 分数 z。
μ = 170σ = 12x = 164
z =
3.概率中等
从 11 人中选出 2 人组成委员会，有多少种选法 N？顺序无关。
n = 11k = 2
N =
4.概率困难
一局游戏的参与费用为 €1。你以概率 0.1 赢得 €4，以概率 0.05 赢得 €20；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。
赌注 = €1€4: p = 0.1€20: p = 0.05
E(G) = €
5.正态分布中等
拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.0951。求 z，保留两位小数。
A = 0.0951
z =
6.正态分布困难
成年男性的身高服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。求数值 x，使得有 5% 的数据低于它（第 5 百分位数）。
μ = 178σ = 7P = 5%
x = cm
7.置信区间中等
比较两种手机型号的电池续航时间。型号 1：30 部手机，均值 45.5 h，已知标准差 15 h。型号 2：50 部手机，均值 50.5 h，已知标准差 15 h。 求 μ₁ − μ₂ 的 90% 置信区间的下限。
n₁ = 30x̄₁ = 45.5 hσ₁ = 15 hn₂ = 50x̄₂ = 50.5 hσ₂ = 15 h90%
下限 = h
8.置信区间困难
对两种肥料进行试验。地块组 1：18 块地，平均产量 18.5 kg，标准差 9.5 kg。地块组 2：13 块地，均值 22 kg，标准差 9 kg。假设方差相等（合并 t，df = n₁ + n₂ − 2）。 求 μ₁ − μ₂ 的 99% 置信区间的上限。
n₁ = 18x̄₁ = 18.5s₁ = 9.5n₂ = 13x̄₂ = 22s₂ = 999%t(29) = 2.756
上限 = kg
9.假设检验与置信区间中等
64 名学生的样本平均分为 51.05，样本标准差为 4。求 H₀: μ = 50 的检验统计量 t。
μ₀ = 50x̄ = 51.05s = 4n = 64
t =
10.假设检验与置信区间困难
100 次测量的样本均值为 121.1。总体标准差为 4。求均值 90% 置信区间的下限 L。
x̄ = 121.1σ = 4n = 10090%
L =
11.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 求皮尔逊相关系数 r。
n = 6
r =
12.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 93？
n = 6ŷ = 93
x =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 14.96
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 170/6 = 28.33
离差平方
Σ(x − x̄)² = 20.67² + (−9.333)² + (−7.333)² + (−2.333)² + 15.67² + (−17.33)² = 1119
标准差
s = √(1119/5) = 14.96
答案
s = 14.96
2.描述统计
答案: z = −0.5
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (164 − 170)/12 = −0.5
答案
z = −0.5
3.概率
答案: N = 55
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
组合
C(11, 2) = (11·10)/(2·1) = 55
答案
N = 55
4.概率
答案: E(G) = 0.4 €
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
净结果
G: 3 (p = 0.1), 19 (p = 0.05), −1 (p = 0.85)
期望值
E(G) = 3·0.1 + 19·0.05 − 1·0.85 = 0.4 €
答案
E(G) = 0.4 €
正值表示平均而言你会赢钱。
5.正态分布
答案: z = 1.31
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
z 左侧的面积
Φ(z) = 1 − 0.0951 = 0.9049
反向查 z 表
在表中找到 0.9049，读出 z。
z = 1.31
答案
z = 1.31
6.正态分布
答案: x = 166.5 cm
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.05 → z = −1.645
换算回 x
x = 178 + −1.645·7 = 166.49 cm
答案
x = 166.49 cm
7.置信区间
答案: 下限 = −10.7 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
点估计
x̄₁ − x̄₂ = 45.5 − 50.5 = −5
标准误
SE = √(15²/30 + 15²/50) = 3.464
误差范围
E = 1.645·3.464 = 5.698
区间
−5 ± 5.698 → [−10.7, 0.6984]
答案
下限 = −10.7 h
区间包含 0，所以数据没有显示出显著差异。
8.置信区间
答案: 上限 = 5.825 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
合并标准差
sp² = (17·9.5² + 12·9²)/29 = 86.42
sp = 9.296
误差范围
E = 2.756·9.296·√(1/18 + 1/13) = 9.325
区间
−3.5 ± 9.325 → [−12.83, 5.825]
答案
上限 = 5.825 kg
9.假设检验与置信区间
答案: t = 2.1
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 4/√64 = 4/8 = 0.5
检验统计量
t = (51.05 − 50)/0.5 = 2.1
答案
t = 2.1
t0.025; df = 63 = 1.998
|t| > 1.998，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。
10.假设检验与置信区间
答案: L = 120.4
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
误差范围
E = 1.645·4/√100 = 0.658
区间端点
L = 121.1 − 0.658 = 120.4
答案
L = 120.4
11.线性回归与相关
答案: r = 0.9966
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 167/6 = 27.83
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 259
Syy = Σ(y − ȳ)² = 964.8
相关系数
r = 259/√(70·964.8) = 0.9966
答案
r = 0.9966
12.线性回归与相关
答案: x = 24.39
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 129/6 = 21.5
ȳ = 496/6 = 82.67
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 564
回归直线
b = 564/157.5 = 3.581
a = 82.67 − 3.581·21.5 = 5.676
ŷ = 5.676 + 3.581·x
解出 x
x = (93 − 5.676)/3.581 = 24.39
答案
x = 24.39
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1