描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：47, 46, 16, 57, 21。
n = 5
s =
2.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 170，标准差为 8。数值低于 163.6 的比例 P 是多少？
μ = 170σ = 8x = 163.6
P =
3.概率中等
对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.35, 0.1, 0.35, 0.2
Var(X) =
4.概率困难
一局游戏的参与费用为 €1。你以概率 0.25 赢得 €5，以概率 0.02 赢得 €10；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。
赌注 = €1€5: p = 0.25€10: p = 0.02
E(G) = €
5.正态分布中等
拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.0150。求 z，保留两位小数。
A = 0.0150
z =
6.正态分布困难
电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。求数值 x，使得有 90% 的数据低于它（第 90 百分位数）。
μ = 500σ = 40P = 90%
x = h
7.置信区间中等
一个包含 10 个个体的样本，均值为 51，标准差 s = 9.5。总体近似服从正态分布。 求均值的 99% 置信区间的误差范围 E。
n = 10x̄ = 51s = 9.599%t(9) = 3.25
E =
8.置信区间困难
总体标准差为 3。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 0.5？
σ = 3E = 0.595%
n =
9.假设检验与置信区间中等
25 名学生的样本平均分为 52.4，样本标准差为 5。求 H₀: μ = 50 的检验统计量 t。
μ₀ = 50x̄ = 52.4s = 5n = 25
t =
10.假设检验与置信区间困难
样本至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 2.5？标准差为 4。求最小样本量 n。
σ = 4E = 2.590%
n =
11.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 求最小二乘直线的决定系数 r²。
n = 6
r² =
12.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 预测 x = 21.5 时的 ŷ。
n = 6x = 21.5
ŷ =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 17.87
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 187/5 = 37.4
离差平方
Σ(x − x̄)² = 9.6² + 8.6² + (−21.4)² + 19.6² + (−16.4)² = 1277
标准差
s = √(1277/4) = 17.87
答案
s = 17.87
2.描述统计
答案: P = 0.2119
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = −0.8
标准正态分布表
Φ(−0.8) = 0.2119
P = 0.2119
答案
P = 0.2119
3.概率
答案: Var(X) = 1.34
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 1·0.35 + 2·0.1 + 3·0.35 + 4·0.2 = 2.4
平方的均值
E(X²) = 1·0.35 + 4·0.1 + 9·0.35 + 16·0.2 = 7.1
方差
Var(X) = 7.1 − 2.4² = 1.34
答案
Var(X) = 1.34
4.概率
答案: E(G) = 0.45 €
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
净结果
G: 4 (p = 0.25), 9 (p = 0.02), −1 (p = 0.73)
期望值
E(G) = 4·0.25 + 9·0.02 − 1·0.73 = 0.45 €
答案
E(G) = 0.45 €
正值表示平均而言你会赢钱。
5.正态分布
答案: z = 2.17
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
z 左侧的面积
Φ(z) = 1 − 0.0150 = 0.9850
反向查 z 表
在表中找到 0.9850，读出 z。
z = 2.17
答案
z = 2.17
6.正态分布
答案: x = 551.3 h
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.9 → z = 1.282
换算回 x
x = 500 + 1.282·40 = 551.26 h
答案
x = 551.26 h
7.置信区间
答案: E = 9.764
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 9, t = 3.25
误差范围
E = 3.25·9.5/√10 = 9.764
答案
E = 9.764
8.置信区间
答案: n = 139
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (1.96·3/0.5)² = 138.3
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 139
答案
n = 139
9.假设检验与置信区间
答案: t = 2.4
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 5/√25 = 5/5 = 1
检验统计量
t = (52.4 − 50)/1 = 2.4
答案
t = 2.4
t0.025; df = 24 = 2.064
|t| > 2.064，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。
10.假设检验与置信区间
答案: n = 7
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
解出 n
n = (1.645·4/2.5)² = 6.927
向上取整
n = 7
答案
n = 7
11.线性回归与相关
答案: r² = 0.7682
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 114/6 = 19
ȳ = 298/6 = 49.67
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 186
Syy = Σ(y − ȳ)² = 643.3
决定系数
r² = 186²/(70·643.3) = 0.7682
答案
r² = 0.7682
y 的变异中约有 76.82% 可由该直线解释。
12.线性回归与相关
答案: ŷ = 57.67
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 129/6 = 21.5
ȳ = 346/6 = 57.67
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 528
回归直线
b = 528/157.5 = 3.352
a = 57.67 − 3.352·21.5 = −14.41
ŷ = −14.41 + 3.352·x
预测
ŷ = −14.41 + 3.352·21.5 = 57.67
答案
ŷ = 57.67
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1