描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：12, 34, 50, 51, 51。
n = 5
s =
2.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 60，标准差为 12。求成绩 45.6 的 z 分数 z。
μ = 60σ = 12x = 45.6
z =
3.概率中等
袋中有 8 个红球和 4 个蓝球。不放回地依次摸出两个球。两个都是红球的概率 P 是多少？
8 / 4
P =
4.概率困难
X 的分布如图所示，Y = 3X + 4。求 Y 的标准差 σY。
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.1, 0.3, 0.35, 0.15, 0.1Y = 3X + 4
σY =
5.正态分布中等
拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.8907。求 z，保留两位小数。
A = 0.8907
z =
6.正态分布困难
孔径 D 服从均值 25.03 mm、标准差 0.015 mm 的正态分布。轴径 d 独立，服从均值 25 mm、标准差 0.01 mm 的正态分布。随机选取的一根轴在 D − d > 0 时能装入。求它能装入的概率 P。z 取两位小数。
孔: μ = 25.03 mm, σ = 0.015 mm轴: μ = 25 mm, σ = 0.01 mm
P =
7.置信区间中等
一个包含 10 个个体的样本，均值为 49.5，标准差 s = 5.5。总体近似服从正态分布。 求均值的 95% 置信区间的误差范围 E。
n = 10x̄ = 49.5s = 5.595%t(9) = 2.262
E =
8.置信区间困难
总体标准差为 30。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 4？
σ = 30E = 495%
n =
9.假设检验与置信区间中等
36 名学生的样本平均分为 118.8，样本标准差为 4。求 H₀: μ = 120 的检验统计量 t。
μ₀ = 120x̄ = 118.8s = 4n = 36
t =
10.假设检验与置信区间困难
81 次测量的样本均值为 97.5。总体标准差为 8。求均值 90% 置信区间的上限 U。
x̄ = 97.5σ = 8n = 8190%
U =
11.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 求最小二乘直线的决定系数 r²。
n = 6
r² =
12.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (19, 51)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 5(19, 51)
e =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 17.04
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 198/5 = 39.6
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−27.6)² + (−5.6)² + 10.4² + 11.4² + 11.4² = 1161
标准差
s = √(1161/4) = 17.04
答案
s = 17.04
2.描述统计
答案: z = −1.2
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (45.6 − 60)/12 = −1.2
答案
z = −1.2
3.概率
答案: P = 0.4242
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
第一次和第二次摸球
P = 8/12 · 7/11 = 56/132 = 0.4242
答案
P = 0.4242
4.概率
答案: σY = 3.324
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
X 的离散程度
μ = 2.85, Var(X) = 1.228, σX = 1.108
线性变换
σY = |3|·1.108 = 3.324
答案
σY = 3.324
均值确实会改变：E(Y) = 3·2.85 + 4 = 12.55。
5.正态分布
答案: z = −1.23
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
z 左侧的面积
Φ(z) = 1 − 0.8907 = 0.1093
反向查 z 表
在表中找到 0.1093，读出 z。
z = −1.23
答案
z = −1.23
6.正态分布
答案: P = 0.9515
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
差的分布
μ = 25.03 − 25 = 0.03 mm, σ = 0.01803 mm
标准化
z = (0 − 0.03)/0.01803 = −1.66
概率
P = 1 − Φ(−1.66) = 0.9515
答案
P = 0.9515
7.置信区间
答案: E = 3.934
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 9, t = 2.262
误差范围
E = 2.262·5.5/√10 = 3.934
答案
E = 3.934
8.置信区间
答案: n = 217
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (1.96·30/4)² = 216.1
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 217
答案
n = 217
9.假设检验与置信区间
答案: t = −1.8
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 4/√36 = 4/6 = 0.6667
检验统计量
t = (118.8 − 120)/0.6667 = −1.8
答案
t = −1.8
t0.025; df = 35 = 2.03
|t| < 2.03，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
10.假设检验与置信区间
答案: U = 98.96
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
误差范围
E = 1.645·8/√81 = 1.462
区间端点
U = 97.5 + 1.462 = 98.96
答案
U = 98.96
11.线性回归与相关
答案: r² = 0.9894
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 149/6 = 24.83
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 255
Syy = Σ(y − ȳ)² = 938.8
决定系数
r² = 255²/(70·938.8) = 0.9894
答案
r² = 0.9894
y 的变异中约有 98.94% 可由该直线解释。
12.线性回归与相关
答案: e = −3.2
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 90/5 = 18
ȳ = 256/5 = 51.2
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 120
回归直线
b = 120/40 = 3
a = 51.2 − 3·18 = −2.8
ŷ = −2.8 + 3·x
预测值
ŷ = −2.8 + 3·19 = 54.2
残差
e = 51 − 54.2 = −3.2
答案
e = −3.2
该点位于直线下方。
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