描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：14, 32, 48, 47, 20。
n = 5
s =
2.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 70，标准差为 10。求成绩 55 的 z 分数 z。
μ = 70σ = 10x = 55
z =
3.概率中等
对图中的分布，求 X 的标准差 σ。
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.35, 0.15, 0.05, 0.35, 0.1
σ =
4.概率困难
X 的分布如图所示，Y = 10X + 1。求 Y 的标准差 σY。
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.35, 0.35, 0.25, 0.05Y = 10X + 1
σY =
5.正态分布中等
成年男性的身高服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。介于 164 和 179.75 cm 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 178σ = 7x1 = 164x2 = 179.75
P =
6.正态分布困难
考试成绩 服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。拖动截断值，使阴影的前 85% 位于其右侧。求截断值 x。
μ = 65 分σ = 10 分85%
x = 分
7.置信区间中等
一个包含 13 个个体的样本，均值为 95.5，标准差 s = 13。总体近似服从正态分布。 求均值的 90% 置信区间的误差范围 E。
n = 13x̄ = 95.5s = 1390%t(12) = 1.782
E =
8.置信区间困难
对两种肥料进行试验。地块组 1：7 块地，平均产量 72.5 kg，标准差 4.5 kg。地块组 2：10 块地，均值 65.5 kg，标准差 9 kg。假设方差相等（合并 t，df = n₁ + n₂ − 2）。 求 μ₁ − μ₂ 的 90% 置信区间的上限。
n₁ = 7x̄₁ = 72.5s₁ = 4.5n₂ = 10x̄₂ = 65.5s₂ = 990%t(15) = 1.753
上限 = kg
9.假设检验与置信区间中等
比较两种教学方法。第 1 组：10 名学生，平均分 101.5，标准差 7。第 2 组：12 名学生，平均分 114.3，标准差 10。假设总体方差相等，使用合并方差的两样本 t 检验。取差值为 x̄₁ − x̄₂（第 1 组减第 2 组），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 t。
n₁ = 10x̄₁ = 101.5s₁ = 7n₂ = 12x̄₂ = 114.3s₂ = 10
t =
10.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.01 下，用容量为 25 的样本对 H₀: μ = 80 与 H₁: μ < 80 进行单侧 z 检验；已知标准差为 2.5。实际上均值为 78.25。 求该检验的功效 1 − β，以百分比表示。
μ₀ = 80μ = 78.25σ = 2.5n = 25α = 0.01
1 − β = %
11.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 求最小二乘直线的决定系数 r²。
n = 5
r² =
12.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (22.5, 109)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 5(22.5, 109)
e =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 15.4
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 161/5 = 32.2
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−18.2)² + (−0.2)² + 15.8² + 14.8² + (−12.2)² = 948.8
标准差
s = √(948.8/4) = 15.4
答案
s = 15.4
2.描述统计
答案: z = −1.5
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (55 − 70)/10 = −1.5
答案
z = −1.5
3.概率
答案: σ = 1.487
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 1·0.35 + 2·0.15 + 3·0.05 + 4·0.35 + 5·0.1 = 2.7
平方的均值
E(X²) = 1·0.35 + 4·0.15 + 9·0.05 + 16·0.35 + 25·0.1 = 9.5
方差
Var(X) = 9.5 − 2.7² = 2.21
σ = √2.21 = 1.487
答案
σ = 1.487
4.概率
答案: σY = 8.944
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
X 的离散程度
μ = 2, Var(X) = 0.8, σX = 0.8944
线性变换
σY = |10|·0.8944 = 8.944
答案
σY = 8.944
均值确实会改变：E(Y) = 10·2 + 1 = 21。
5.正态分布
答案: P = 0.576
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (164 − 178)/7 = −2
z₂ = (179.75 − 178)/7 = 0.25
中间面积
P = Φ(0.25) − Φ(−2) = 0.5987 − 0.02275 = 0.576
答案
P = 0.576
6.正态分布
答案: x = 54.6 分
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.15
由表得到的 z
z ≈ −1.04
回到原来的单位
x = 65 − 1.04·10 = 54.6 分
答案
x = 54.6 分
7.置信区间
答案: E = 6.425
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 12, t = 1.782
误差范围
E = 1.782·13/√13 = 6.425
答案
E = 6.425
8.置信区间
答案: 上限 = 13.51 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
合并标准差
sp² = (6·4.5² + 9·9²)/15 = 56.7
sp = 7.53
误差范围
E = 1.753·7.53·√(1/7 + 1/10) = 6.505
区间
7 ± 6.505 → [0.495, 13.51]
答案
上限 = 13.51 kg
9.假设检验与置信区间
答案: t = −3.406
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
合并方差
sp² = (9·7² + 11·10²)/20 = 77.05
sp = 8.778
标准误
SE = 8.778·√(1/10 + 1/12) = 3.758
检验统计量
t = (101.5 − 114.3)/3.758 = −3.406
答案
t = −3.406
df = 20 时，双侧 5% 的临界值为 2.086；|t| 更大，所以拒绝 H₀。
10.假设检验与置信区间
答案: 1 − β = 87.98 %
检验功效：功效 = 1 − β，是 H₀ 为假时拒绝 H₀ 的概率。由 μ₀ 和 z_α 求出临界值 x̄c，再用真实均值计算落在 x̄c 以外的概率：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
临界样本均值
SE = 2.5/√25 = 0.5
x̄c = 80 − 2.326·0.5 = 78.84
真实均值下的 z
z = (78.84 − 78.25)/0.5 = 1.174
功率
功效 = P(Z < 1.174) = 87.98%
1 − β = 87.98%
答案
1 − β = 87.98%
11.线性回归与相关
答案: r² = 0.9835
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 78/5 = 15.6
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 74
Syy = Σ(y − ȳ)² = 139.2
决定系数
r² = 74²/(40·139.2) = 0.9835
答案
r² = 0.9835
y 的变异中约有 98.35% 可由该直线解释。
12.线性回归与相关
答案: e = 5.35
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 105/5 = 21
ȳ = 476/5 = 95.2
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 507
回归直线
b = 507/90 = 5.633
a = 95.2 − 5.633·21 = −23.1
ŷ = −23.1 + 5.633·x
预测值
ŷ = −23.1 + 5.633·22.5 = 103.7
残差
e = 109 − 103.7 = 5.35
答案
e = 5.35
该点位于直线上方。
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