描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：12, 24, 35, 11, 55, 10, 20。
n = 7
s =
2.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 70，标准差为 8。数值高于 54 的比例 P 是多少？
μ = 70σ = 8x = 54
P =
3.概率中等
袋中有 7 个红球和 6 个蓝球。不放回地依次摸出两个球。两个都是红球的概率 P 是多少？
7 / 6
P =
4.概率困难
X 的分布如图所示，Y = 2X + 10。求 Y 的标准差 σY。
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.35, 0.2, 0.1, 0.35Y = 2X + 10
σY =
5.正态分布中等
水泥袋的质量相互独立，服从均值 25 kg、标准差 0.5 kg 的正态分布。求其中 8 个的总质量低于 198.6 kg 的概率 P。z 取两位小数。
μ = 25 kgσ = 0.5 kgn = 8< 198.6 kg
P =
6.正态分布困难
一组人中男性的身高 X 与女性的身高 Y相互独立且服从正态分布：X 的均值为 180 cm，标准差为 10 cm，Y 的均值为 170 cm，标准差为 12 cm。求 X 大于 Y 的概率 P。z 取两位小数。
μX = 180 cm, σX = 10 cmμY = 170 cm, σY = 12 cm
P =
7.置信区间中等
一个包含 8 个个体的样本，均值为 52.5，标准差 s = 5.5。总体近似服从正态分布。 求均值的 90% 置信区间的下限。
n = 8x̄ = 52.5s = 5.590%t(7) = 1.895
下限 =
8.置信区间困难
对两种肥料进行试验。地块组 1：6 块地，平均产量 69.5 kg，标准差 1.5 kg。地块组 2：16 块地，均值 72 kg，标准差 9.5 kg。假设方差相等（合并 t，df = n₁ + n₂ − 2）。 求 μ₁ − μ₂ 的 99% 置信区间的上限。
n₁ = 6x̄₁ = 69.5s₁ = 1.5n₂ = 16x̄₂ = 72s₂ = 9.599%t(20) = 2.845
上限 = kg
9.假设检验与置信区间中等
据称某总体的均值为 250；已知总体标准差为 6。一个含 36 个观测值的随机样本均值为 248.7。检验 H₀: μ = 250 对 H₁: μ ≠ 250。求 p 值 p。
μ₀ = 250σ = 6n = 36x̄ = 248.7H₁: μ ≠ μ₀
p =
10.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.01 下，用容量为 25 的样本对 H₀: μ = 200 与 H₁: μ > 200 进行单侧 z 检验；已知标准差为 5。实际上均值为 201.7。 求第二类错误的概率 β，以百分比表示。
μ₀ = 200μ = 201.7σ = 5n = 25α = 0.01
β = %
11.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 求最小二乘直线的决定系数 r²。
n = 6
r² =
12.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 20？
n = 6ŷ = 20
x =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 16.36
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 167/7 = 23.86
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−11.86)² + 0.1429² + 11.14² + (−12.86)² + 31.14² + (−13.86)² + (−3.857)² = 1607
标准差
s = √(1607/6) = 16.36
答案
s = 16.36
2.描述统计
答案: P = 0.9772
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = −2
标准正态分布表
Φ(−2) = 0.02275
P = 1 − 0.02275 = 0.9772
答案
P = 0.9772
3.概率
答案: P = 0.2692
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
第一次和第二次摸球
P = 7/13 · 6/12 = 42/156 = 0.2692
答案
P = 0.2692
4.概率
答案: σY = 2.567
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
X 的离散程度
μ = 1.45, Var(X) = 1.648, σX = 1.284
线性变换
σY = |2|·1.284 = 2.567
答案
σY = 2.567
均值确实会改变：E(Y) = 2·1.45 + 10 = 12.9。
5.正态分布
答案: P = 0.1611
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
总和的分布
μT = 200 kg, σT = 0.5·√8 = 1.414 kg
标准化
z = (198.6 − 200)/1.414 = −0.99
概率
P = Φ(−0.99) = 0.1611
答案
P = 0.1611
6.正态分布
答案: P = 0.7389
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
差的分布
μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15.62 cm
标准化
z = (0 − 10)/15.62 = −0.64
概率
P = 1 − Φ(−0.64) = 0.7389
答案
P = 0.7389
7.置信区间
答案: 下限 = 48.82
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 7, t = 1.895
误差范围
E = 1.895·5.5/√8 = 3.685
区间
52.5 ± 3.685 → [48.82, 56.18]
答案
下限 = 48.82
8.置信区间
答案: 上限 = 8.751 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
合并标准差
sp² = (5·1.5² + 15·9.5²)/20 = 68.25
sp = 8.261
误差范围
E = 2.845·8.261·√(1/6 + 1/16) = 11.25
区间
−2.5 ± 11.25 → [−13.75, 8.751]
答案
上限 = 8.751 kg
9.假设检验与置信区间
答案: p = 0.1936
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
检验统计量
SE = σ/√n = 6/√36 = 1
z = (248.7 − 250)/1 = −1.3
尾部面积
Φ(1.3) = 0.9032
1 − Φ(1.3) = 0.0968
p 值
p = 2·0.0968 = 0.1936
答案
p = 0.1936
p > 0.05，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀。
10.假设检验与置信区间
答案: β = 73.43 %
检验功效：功效 = 1 − β，是 H₀ 为假时拒绝 H₀ 的概率。由 μ₀ 和 z_α 求出临界值 x̄c，再用真实均值计算落在 x̄c 以外的概率：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
临界样本均值
SE = 5/√25 = 1
x̄c = 200 + 2.326·1 = 202.3
真实均值下的 z
z = (202.3 − 201.7)/1 = 0.626
第二类错误
功效 = P(Z > 0.626) = 26.57%
β = 100% − 26.57% = 73.43%
答案
β = 73.43%
11.线性回归与相关
答案: r² = 0.9834
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 117/6 = 19.5
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −56.5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 185.5
决定系数
r² = −56.5²/(17.5·185.5) = 0.9834
答案
r² = 0.9834
y 的变异中约有 98.34% 可由该直线解释。
12.线性回归与相关
答案: x = 4.886
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 170/6 = 28.33
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 276
回归直线
b = 276/70 = 3.943
a = 28.33 − 3.943·7 = 0.7333
ŷ = 0.7333 + 3.943·x
解出 x
x = (20 − 0.7333)/3.943 = 4.886
答案
x = 4.886
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1