描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：47, 36, 52, 10, 27, 55, 11。
n = 7
s =
2.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 50，标准差为 5。求成绩 60 的 z 分数 z。
μ = 50σ = 5x = 60
z =
3.概率中等
袋中有 7 个红球和 5 个蓝球。不放回地依次摸出两个球。两个都是红球的概率 P 是多少？
7 / 5
P =
4.概率困难
一局游戏的参与费用为 €2。你以概率 0.25 赢得 €8，以概率 0.01 赢得 €40；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。
赌注 = €2€8: p = 0.25€40: p = 0.01
E(G) = €
5.正态分布中等
电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。介于 490 和 550 h 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 500σ = 40x1 = 490x2 = 550
P =
6.正态分布困难
袋装重量服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。求数值 x，使得有 75% 的数据低于它（第 75 百分位数）。
μ = 250σ = 5P = 75%
x = g
7.置信区间中等
比较两种手机型号的电池续航时间。型号 1：80 部手机，均值 58.5 h，已知标准差 3 h。型号 2：60 部手机，均值 60 h，已知标准差 13 h。 求 μ₁ − μ₂ 的 90% 置信区间的误差范围 E。
n₁ = 80x̄₁ = 58.5 hσ₁ = 3 hn₂ = 60x̄₂ = 60 hσ₂ = 13 h90%
E = h
8.置信区间困难
总体标准差为 18。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 1？
σ = 18E = 195%
n =
9.假设检验与置信区间中等
25 名学生的样本平均分为 121.2，样本标准差为 5。求 H₀: μ = 120 的检验统计量 t。
μ₀ = 120x̄ = 121.2s = 5n = 25
t =
10.假设检验与置信区间困难
36 次测量的样本均值为 124.7。总体标准差为 10。求均值 95% 置信区间的上限 U。
x̄ = 124.7σ = 10n = 3695%
U =
11.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 求皮尔逊相关系数 r。
n = 6
r =
12.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 18？
n = 6ŷ = 18
x =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 18.67
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 238/7 = 34
离差平方
Σ(x − x̄)² = 13² + 2² + 18² + (−24)² + (−7)² + 21² + (−23)² = 2092
标准差
s = √(2092/6) = 18.67
答案
s = 18.67
2.描述统计
答案: z = 2
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (60 − 50)/5 = 2
答案
z = 2
3.概率
答案: P = 0.3182
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
第一次和第二次摸球
P = 7/12 · 6/11 = 42/132 = 0.3182
答案
P = 0.3182
4.概率
答案: E(G) = 0.4 €
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
净结果
G: 6 (p = 0.25), 38 (p = 0.01), −2 (p = 0.74)
期望值
E(G) = 6·0.25 + 38·0.01 − 2·0.74 = 0.4 €
答案
E(G) = 0.4 €
正值表示平均而言你会赢钱。
5.正态分布
答案: P = 0.4931
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (490 − 500)/40 = −0.25
z₂ = (550 − 500)/40 = 1.25
中间面积
P = Φ(1.25) − Φ(−0.25) = 0.8944 − 0.4013 = 0.4931
答案
P = 0.4931
6.正态分布
答案: x = 253.4 g
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.75 → z = 0.6745
换算回 x
x = 250 + 0.6745·5 = 253.37 g
答案
x = 253.37 g
7.置信区间
答案: E = 2.815 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
点估计
x̄₁ − x̄₂ = 58.5 − 60 = −1.5
标准误
SE = √(3²/80 + 13²/60) = 1.711
误差范围
E = 1.645·1.711 = 2.815
答案
E = 2.815 h
区间包含 0，所以数据没有显示出显著差异。
8.置信区间
答案: n = 1245
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (1.96·18/1)² = 1245
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 1245
答案
n = 1245
9.假设检验与置信区间
答案: t = 1.2
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 5/√25 = 5/5 = 1
检验统计量
t = (121.2 − 120)/1 = 1.2
答案
t = 1.2
t0.025; df = 24 = 2.064
|t| < 2.064，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
10.假设检验与置信区间
答案: U = 128
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
误差范围
E = 1.96·10/√36 = 3.267
区间端点
U = 124.7 + 3.267 = 128
答案
U = 128
11.线性回归与相关
答案: r = 0.904
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 126/6 = 21
ȳ = 304/6 = 50.67
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 168
Syy = Σ(y − ȳ)² = 493.3
相关系数
r = 168/√(70·493.3) = 0.904
答案
r = 0.904
12.线性回归与相关
答案: x = 10.64
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 79/6 = 13.17
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 93
回归直线
b = 93/70 = 1.329
a = 13.17 − 1.329·7 = 3.867
ŷ = 3.867 + 1.329·x
解出 x
x = (18 − 3.867)/1.329 = 10.64
答案
x = 10.64
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