描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：28, 31, 44, 17, 26。
n = 5
s =
2.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 500，标准差为 25。求成绩 537.5 的 z 分数 z。
μ = 500σ = 25x = 537.5
z =
3.概率中等
对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.25, 0.25, 0.25, 0.25
Var(X) =
4.概率困难
一局游戏的参与费用为 €2。你以概率 0.25 赢得 €6，以概率 0.01 赢得 €20；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。
赌注 = €2€6: p = 0.25€20: p = 0.01
E(G) = €
5.正态分布中等
考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。介于 50.5 和 77 分 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 65σ = 10x1 = 50.5x2 = 77
P =
6.正态分布困难
智商分数 服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。拖动截断值，使阴影的后 5% 位于其左侧。求截断值 x。
μ = 100 分σ = 15 分5%
x = 分
7.置信区间中等
基于 36 个观测值且 σ 已知的均值 99% 置信区间，其误差范围为 10.5。 用同样的数据计算 95% 区间，其误差范围 E₂ 是多少？
99%n₁ = 36E₁ = 10.595%
E₂ =
8.置信区间困难
总体标准差为 40。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 2.5？
σ = 40E = 2.595%
n =
9.假设检验与置信区间中等
比较两种教学方法。第 1 组：5 名学生，平均分 113.5，标准差 11。第 2 组：12 名学生，平均分 103.7，标准差 10。假设总体方差相等，使用合并方差的两样本 t 检验。取差值为 x̄₁ − x̄₂（第 1 组减第 2 组），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 t。
n₁ = 5x̄₁ = 113.5s₁ = 11n₂ = 12x̄₂ = 103.7s₂ = 10
t =
10.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.01 下的单侧 z 检验，必须以 80% 的功效检测出均值 4 个单位的偏移。标准差为 25。求最小样本量 n。
α = 0.01功效 = 80%δ = 4σ = 25zα = 2.326zβ = 0.842
n =
11.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 求最小二乘直线的决定系数 r²。
n = 6
r² =
12.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 66？
n = 6ŷ = 66
x =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 9.783
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 146/5 = 29.2
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−1.2)² + 1.8² + 14.8² + (−12.2)² + (−3.2)² = 382.8
标准差
s = √(382.8/4) = 9.783
答案
s = 9.783
2.描述统计
答案: z = 1.5
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (537.5 − 500)/25 = 1.5
答案
z = 1.5
3.概率
答案: Var(X) = 5
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 0·0.25 + 2·0.25 + 4·0.25 + 6·0.25 = 3
平方的均值
E(X²) = 0·0.25 + 4·0.25 + 16·0.25 + 36·0.25 = 14
方差
Var(X) = 14 − 3² = 5
答案
Var(X) = 5
4.概率
答案: E(G) = −0.3 €
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
净结果
G: 4 (p = 0.25), 18 (p = 0.01), −2 (p = 0.74)
期望值
E(G) = 4·0.25 + 18·0.01 − 2·0.74 = −0.3 €
答案
E(G) = −0.3 €
负值表示平均而言你会亏钱。
5.正态分布
答案: P = 0.8114
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (50.5 − 65)/10 = −1.45
z₂ = (77 − 65)/10 = 1.2
中间面积
P = Φ(1.2) − Φ(−1.45) = 0.8849 − 0.07353 = 0.8114
答案
P = 0.8114
6.正态分布
答案: x = 75.4 分
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.05
由表得到的 z
z ≈ −1.64
回到原来的单位
x = 100 − 1.64·15 = 75.4 分
答案
x = 75.4 分
7.置信区间
答案: E₂ = 7.989
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
误差范围之比
E₂/E₁ = (1.96/2.576)·√(36/36) = 0.7609
新的误差范围
E₂ = 10.5·0.7609 = 7.989
答案
E₂ = 7.989
8.置信区间
答案: n = 984
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (1.96·40/2.5)² = 983.4
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 984
答案
n = 984
9.假设检验与置信区间
答案: t = 1.792
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
合并方差
sp² = (4·11² + 11·10²)/15 = 105.6
sp = 10.28
标准误
SE = 10.28·√(1/5 + 1/12) = 5.47
检验统计量
t = (113.5 − 103.7)/5.47 = 1.792
答案
t = 1.792
df = 15 时，双侧 5% 的临界值为 2.131；|t| 更小，所以不拒绝 H₀。
10.假设检验与置信区间
答案: n = 393
检验的样本量：在水平 α 下的单侧 z 检验中，要以功效 1 − β 检测出真实偏移 δ，标准误必须满足 δ = (z_α + z_β)·σ/√n，所以 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²，向上取整。
解出 n
n = ((2.326 + 0.842)·25/4)² = 392
向上取整
n = 393
答案
n = 393
11.线性回归与相关
答案: r² = 0.9435
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 27/6 = 4.5
ȳ = 363/6 = 60.5
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 93.5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 529.5
决定系数
r² = 93.5²/(17.5·529.5) = 0.9435
答案
r² = 0.9435
y 的变异中约有 94.35% 可由该直线解释。
12.线性回归与相关
答案: x = 5.415
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 27/6 = 4.5
ȳ = 380/6 = 63.33
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 51
回归直线
b = 51/17.5 = 2.914
a = 63.33 − 2.914·4.5 = 50.22
ŷ = 50.22 + 2.914·x
解出 x
x = (66 − 50.22)/2.914 = 5.415
答案
x = 5.415
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