统计学基础：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：18, 11, 25, 45, 55, 34。

n = 6

s =

2.描述统计困难

考试成绩服从正态分布，平均数为 500，标准差为 40。求成绩 516 的 z 分数 z。

μ = 500σ = 40x = 516

z =

3.概率中等

对图中的分布，求 X 的标准差 σ。

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.2, 0.25, 0.35, 0.2

σ =

4.概率困难

X 的分布如图所示，Y = 10X + 20。求 Y 的标准差 σ_Y。

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.35, 0.3, 0.05, 0.3Y = 10X + 20

σ_Y =

5.正态分布中等

水泥袋的质量相互独立，服从均值 25 kg、标准差 0.5 kg 的正态分布。求其中 5 个的总质量低于 126.1 kg 的概率 P。z 取两位小数。

μ = 25 kgσ = 0.5 kgn = 5< 126.1 kg

P =

6.正态分布困难

一组人中男性的身高 X 与女性的身高 Y相互独立且服从正态分布：X 的均值为 180 cm，标准差为 10 cm，Y 的均值为 170 cm，标准差为 12 cm。求 X 大于 Y 的概率 P。z 取两位小数。

μ_X = 180 cm, σ_X = 10 cmμ_Y = 170 cm, σ_Y = 12 cm

P =

7.置信区间中等

一个包含 11 个个体的样本，均值为 85.5，标准差 s = 16。总体近似服从正态分布。求均值的 95% 置信区间的下限。

n = 11x̄ = 85.5s = 1695%t(10) = 2.228

下限 =

8.置信区间困难

总体标准差为 20。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 4？

σ = 20E = 495%

n =

9.假设检验与置信区间中等

比较两种教学方法。第 1 组：9 名学生，平均分 98.5，标准差 4.5。第 2 组：8 名学生，平均分 87.3，标准差 11.5。假设总体方差相等，使用合并方差的两样本 t 检验。取差值为 x̄₁ − x̄₂（第 1 组减第 2 组），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 t。

n₁ = 9x̄₁ = 98.5s₁ = 4.5n₂ = 8x̄₂ = 87.3s₂ = 11.5

t =

10.假设检验与置信区间困难

样本至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 1？标准差为 20。求最小样本量 n。

σ = 20E = 195%

n =

11.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。求最小二乘直线的决定系数 r²。

n = 5

r² =

12.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 14？

n = 5ŷ = 14

x =

3溶液

1.描述统计

答案: s = 16.65

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 188/6 = 31.33

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−13.33)² + (−20.33)² + (−6.333)² + 13.67² + 23.67² + 2.667² = 1385

标准差

s = √(1385/5) = 16.65

答案

s = 16.65

2.描述统计

答案: z = 0.4

标准化

z = (516 − 500)/40 = 0.4

答案

z = 0.4

3.概率

答案: σ = 1.023

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 0·0.2 + 1·0.25 + 2·0.35 + 3·0.2 = 1.55

平方的均值

E(X²) = 0·0.2 + 1·0.25 + 4·0.35 + 9·0.2 = 3.45

方差

Var(X) = 3.45 − 1.55² = 1.047

σ = √1.047 = 1.023

答案

σ = 1.023

4.概率

答案: σ_Y = 12.29

X 的离散程度

μ = 2.3, Var(X) = 1.51, σ_X = 1.229

线性变换

σ_Y = |10|·1.229 = 12.29

答案

σ_Y = 12.29

均值确实会改变：E(Y) = 10·2.3 + 20 = 43。

5.正态分布

答案: P = 0.8365

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

总和的分布

μ_T = 125 kg, σ_T = 0.5·√5 = 1.118 kg

标准化

z = (126.1 − 125)/1.118 = 0.98

概率

P = Φ(0.98) = 0.8365

答案

P = 0.8365

6.正态分布

答案: P = 0.7389

差的分布

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15.62 cm

标准化

z = (0 − 10)/15.62 = −0.64

概率

P = 1 − Φ(−0.64) = 0.7389

答案

P = 0.7389

7.置信区间

答案: 下限 = 74.75

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 10, t = 2.228

误差范围

E = 2.228·16/√11 = 10.75

区间

85.5 ± 10.75 → [74.75, 96.25]

答案

下限 = 74.75

8.置信区间

答案: n = 97

解出 n

n = (1.96·20/4)² = 96.04

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 97

答案

n = 97

9.假设检验与置信区间

答案: t = 2.707

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

合并方差

s_p² = (8·4.5² + 7·11.5²)/15 = 72.52

s_p = 8.516

标准误

SE = 8.516·√(1/9 + 1/8) = 4.138

检验统计量

t = (98.5 − 87.3)/4.138 = 2.707

答案

t = 2.707

df = 15 时，双侧 5% 的临界值为 2.131；|t| 更大，所以拒绝 H₀。

10.假设检验与置信区间

答案: n = 1537

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

解出 n

n = (1.96·20/1)² = 1537

向上取整

n = 1537

答案

n = 1537

11.线性回归与相关

答案: r² = 0.889

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 60/5 = 12

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 54

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 82

决定系数

r² = 54²/(40·82) = 0.889

答案

r² = 0.889

y 的变异中约有 88.9% 可由该直线解释。

12.线性回归与相关

答案: x = 4.889

均值

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 85/5 = 17

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 108

回归直线

b = 108/40 = 2.7

a = 17 − 2.7·6 = 0.8

ŷ = 0.8 + 2.7·x

解出 x

x = (14 − 0.8)/2.7 = 4.889

答案

x = 4.889

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