统计学基础：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：17, 50, 10, 34, 54, 36, 24。

n = 7

s =

2.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 60，标准差为 12。数值低于 67.2 的比例 P 是多少？

μ = 60σ = 12x = 67.2

P =

3.概率中等

对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.05, 0.35, 0.2, 0.05, 0.35

Var(X) =

4.概率困难

X 的分布如图所示，Y = 2X + 10。求 Y 的标准差 σ_Y。

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.25, 0.3, 0.25, 0.15, 0.05Y = 2X + 10

σ_Y =

5.正态分布中等

配送时间服从正态分布，均值为 32 min，标准差为 6 min。介于 32.3 和 39.2 min 之间的比例是多少？P 以小数表示。

μ = 32σ = 6x₁ = 32.3x₂ = 39.2

P =

6.正态分布困难

智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。求数值 x，使得有 97.5% 的数据低于它（第 97.5 百分位数）。

μ = 100σ = 15P = 97.5%

x = 分

7.置信区间中等

基于 64 个观测值且 σ 已知的均值 95% 置信区间，其误差范围为 1.1。用同样的数据计算 99% 区间，其误差范围 E₂ 是多少？

95%n₁ = 64E₁ = 1.199%

E₂ =

8.置信区间困难

总体标准差为 16。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 3？

σ = 16E = 395%

n =

9.假设检验与置信区间中等

64 名学生的样本平均分为 203.2，样本标准差为 12。求 H₀: μ = 200 的检验统计量 t。

μ₀ = 200x̄ = 203.2s = 12n = 64

t =

10.假设检验与置信区间困难

在 α = 0.05 下的单侧 z 检验，必须以 80% 的功效检测出均值 4 个单位的偏移。标准差为 17。求最小样本量 n。

α = 0.05功效 = 80%δ = 4σ = 17z_α = 1.645z_β = 0.842

n =

11.线性回归与相关中等

表中给出 6 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。求皮尔逊相关系数 r。

n = 6

r =

12.线性回归与相关困难

表中给出 6 对观测值 x = 车龄（年）和 y = 价格 (k€)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。预测 x = 2.5 时的 ŷ。

n = 6x = 2.5

ŷ =

3溶液

1.描述统计

答案: s = 16.33

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 225/7 = 32.14

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−15.14)² + 17.86² + (−22.14)² + 1.857² + 21.86² + 3.857² + (−8.143)² = 1601

标准差

s = √(1601/6) = 16.33

答案

s = 16.33

2.描述统计

答案: P = 0.7257

标准化

z = 0.6

标准正态分布表

Φ(0.6) = 0.7257

P = 0.7257

答案

P = 0.7257

3.概率

答案: Var(X) = 1.91

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 1·0.05 + 2·0.35 + 3·0.2 + 4·0.05 + 5·0.35 = 3.3

平方的均值

E(X²) = 1·0.05 + 4·0.35 + 9·0.2 + 16·0.05 + 25·0.35 = 12.8

方差

Var(X) = 12.8 − 3.3² = 1.91

答案

Var(X) = 1.91

4.概率

答案: σ_Y = 2.322

X 的离散程度

μ = 1.45, Var(X) = 1.348, σ_X = 1.161

线性变换

σ_Y = |2|·1.161 = 2.322

答案

σ_Y = 2.322

均值确实会改变：E(Y) = 2·1.45 + 10 = 12.9。

5.正态分布

答案: P = 0.365

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

z 分数

z₁ = (32.3 − 32)/6 = 0.05

z₂ = (39.2 − 32)/6 = 1.2

中间面积

P = Φ(1.2) − Φ(0.05) = 0.8849 − 0.5199 = 0.365

答案

P = 0.365

6.正态分布

答案: x = 129.4 分

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.975 → z = 1.96

换算回 x

x = 100 + 1.96·15 = 129.4 分

答案

x = 129.4 分

7.置信区间

答案: E₂ = 1.446

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

误差范围之比

E₂/E₁ = (2.576/1.96)·√(64/64) = 1.314

新的误差范围

E₂ = 1.1·1.314 = 1.446

答案

E₂ = 1.446

8.置信区间

答案: n = 110

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

解出 n

n = (1.96·16/3)² = 109.3

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 110

答案

n = 110

9.假设检验与置信区间

答案: t = 2.133

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 12/√64 = 12/8 = 1.5

检验统计量

t = (203.2 − 200)/1.5 = 2.133

答案

t = 2.133

t_{0.025; df = 63} = 1.998

|t| > 1.998，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

10.假设检验与置信区间

答案: n = 112

检验的样本量：在水平 α 下的单侧 z 检验中，要以功效 1 − β 检测出真实偏移 δ，标准误必须满足 δ = (z_α + z_β)·σ/√n，所以 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²，向上取整。

解出 n

n = ((1.645 + 0.842)·17/4)² = 111.7

向上取整

n = 112

答案

n = 112

11.线性回归与相关

答案: r = 0.9872

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 153/6 = 25.5

ȳ = 852/6 = 142

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 849

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 4696

答案

r = 0.9872

12.线性回归与相关

答案: ŷ = 17.6

均值

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 89/6 = 14.83

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −48.5

回归直线

b = −48.5/17.5 = −2.771

a = 14.83 − (−2.771)·3.5 = 24.53

ŷ = 24.53 − 2.771·x

预测

ŷ = 24.53 + (−2.771)·2.5 = 17.6

答案

ŷ = 17.6

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