描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：35, 36, 22, 34, 11。
n = 5
s =
2.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 70，标准差为 20。数值高于 78 的比例 P 是多少？
μ = 70σ = 20x = 78
P =
3.概率中等
袋中有 4 个红球和 4 个蓝球。不放回地依次摸出两个球。两个都是红球的概率 P 是多少？
4 / 4
P =
4.概率困难
X 的分布如图所示，Y = 3X + 10。求 Y 的标准差 σY。
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.25, 0.35, 0.35, 0.05Y = 3X + 10
σY =
5.正态分布中等
考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。介于 50.5 和 83 分 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 65σ = 10x1 = 50.5x2 = 83
P =
6.正态分布困难
智商分数 服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。拖动截断值，使阴影的前 85% 位于其右侧。求截断值 x。
μ = 100 分σ = 15 分85%
x = 分
7.置信区间中等
一个包含 12 个个体的样本，均值为 88.5，标准差 s = 20。总体近似服从正态分布。 求均值的 90% 置信区间的上限。
n = 12x̄ = 88.5s = 2090%t(11) = 1.796
上限 =
8.置信区间困难
一项预研究表明，约有 0.2 的产品有缺陷。 必须检验多少件产品 n，才能使比例的 95% 置信区间的误差范围不超过 0.03？
p ≈ 0.2E = 0.0395%
n =
9.假设检验与置信区间中等
两条生产线生产同一种零件。生产线 1：50 个零件的样本平均长度为 55 mm，该生产线的已知标准差为 9 mm。生产线 2：40 个零件的样本均值为 53.8 mm，已知标准差为 5 mm。取差值为 x̄₁ − x̄₂（生产线 1 减生产线 2），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 z。
n₁ = 50x̄₁ = 55 mmσ₁ = 9 mmn₂ = 40x̄₂ = 53.8 mmσ₂ = 5 mm
z =
10.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.10 下，用容量为 25 的样本对 H₀: μ = 80 与 H₁: μ > 80 进行单侧 z 检验；已知标准差为 12.5。实际上均值为 87.75。 求第二类错误的概率 β，以百分比表示。
μ₀ = 80μ = 87.75σ = 12.5n = 25α = 0.10
β = %
11.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 求最小二乘直线的决定系数 r²。
n = 5
r² =
12.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 预测 x = 3 时的 ŷ。
n = 6x = 3
ŷ =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 10.88
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 138/5 = 27.6
离差平方
Σ(x − x̄)² = 7.4² + 8.4² + (−5.6)² + 6.4² + (−16.6)² = 473.2
标准差
s = √(473.2/4) = 10.88
答案
s = 10.88
2.描述统计
答案: P = 0.3446
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = 0.4
标准正态分布表
Φ(0.4) = 0.6554
P = 1 − 0.6554 = 0.3446
答案
P = 0.3446
3.概率
答案: P = 0.2143
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
第一次和第二次摸球
P = 4/8 · 3/7 = 12/56 = 0.2143
答案
P = 0.2143
4.概率
答案: σY = 26.15
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
X 的离散程度
μ = 22, Var(X) = 76, σX = 8.718
线性变换
σY = |3|·8.718 = 26.15
答案
σY = 26.15
均值确实会改变：E(Y) = 3·22 + 10 = 76。
5.正态分布
答案: P = 0.8905
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (50.5 − 65)/10 = −1.45
z₂ = (83 − 65)/10 = 1.8
中间面积
P = Φ(1.8) − Φ(−1.45) = 0.9641 − 0.07353 = 0.8905
答案
P = 0.8905
6.正态分布
答案: x = 84.4 分
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.15
由表得到的 z
z ≈ −1.04
回到原来的单位
x = 100 − 1.04·15 = 84.4 分
答案
x = 84.4 分
7.置信区间
答案: 上限 = 98.87
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 11, t = 1.796
误差范围
E = 1.796·20/√12 = 10.37
区间
88.5 ± 10.37 → [78.13, 98.87]
答案
上限 = 98.87
8.置信区间
答案: n = 683
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.
解出 n
n = 1.96²·0.2·0.8/0.03² = 683
向上取整
n = 683
答案
n = 683
9.假设检验与置信区间
答案: z = 0.8009
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
差值的标准误
SE = √(9²/50 + 5²/40) = √2.245 = 1.498
检验统计量
z = (55 − 53.8)/1.498 = 0.8009
答案
z = 0.8009
|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
10.假设检验与置信区间
答案: β = 3.453 %
检验功效：功效 = 1 − β，是 H₀ 为假时拒绝 H₀ 的概率。由 μ₀ 和 z_α 求出临界值 x̄c，再用真实均值计算落在 x̄c 以外的概率：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
临界样本均值
SE = 12.5/√25 = 2.5
x̄c = 80 + 1.282·2.5 = 83.2
真实均值下的 z
z = (83.2 − 87.75)/2.5 = −1.818
第二类错误
功效 = P(Z > −1.818) = 96.55%
β = 100% − 96.55% = 3.453%
答案
β = 3.453%
11.线性回归与相关
答案: r² = 0.7987
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 103/5 = 20.6
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −19
Syy = Σ(y − ȳ)² = 45.2
决定系数
r² = −19²/(10·45.2) = 0.7987
答案
r² = 0.7987
y 的变异中约有 79.87% 可由该直线解释。
12.线性回归与相关
答案: ŷ = 9.538
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 109/6 = 18.17
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 151
回归直线
b = 151/70 = 2.157
a = 18.17 − 2.157·7 = 3.067
ŷ = 3.067 + 2.157·x
预测
ŷ = 3.067 + 2.157·3 = 9.538
答案
ŷ = 9.538
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