描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：54, 41, 13, 16, 41, 50, 32。
n = 7
s =
2.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 50，标准差为 8。求成绩 38 的 z 分数 z。
μ = 50σ = 8x = 38
z =
3.概率中等
对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.25, 0.3, 0.15, 0.3
Var(X) =
4.概率困难
测试 8 个元件，每个独立地以概率 0.7 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？
n = 8p = 0.7
P =
5.正态分布中等
箱子的质量相互独立，服从均值 12 kg、标准差 0.8 kg 的正态分布。求其中 6 个的总质量超过 70 kg 的概率 P。z 取两位小数。
μ = 12 kgσ = 0.8 kgn = 6> 70 kg
P =
6.正态分布困难
配送时间服从正态分布，均值为 32 min，标准差为 6 min。求数值 x，使得有 90% 的数据低于它（第 90 百分位数）。
μ = 32σ = 6P = 90%
x = min
7.置信区间中等
一个包含 20 个个体的样本，均值为 30.5，标准差 s = 8.5。总体近似服从正态分布。 求均值的 99% 置信区间的上限。
n = 20x̄ = 30.5s = 8.599%t(19) = 2.861
上限 =
8.置信区间困难
对两种肥料进行试验。地块组 1：5 块地，平均产量 58.5 kg，标准差 4 kg。地块组 2：17 块地，均值 46.5 kg，标准差 4 kg。假设方差相等（合并 t，df = n₁ + n₂ − 2）。 求 μ₁ − μ₂ 的 90% 置信区间的下限。
n₁ = 5x̄₁ = 58.5s₁ = 4n₂ = 17x̄₂ = 46.5s₂ = 490%t(20) = 1.725
下限 = kg
9.假设检验与置信区间中等
据称某总体的均值为 100；已知总体标准差为 24。一个含 64 个观测值的随机样本均值为 103。检验 H₀: μ = 100 对 H₁: μ ≠ 100。求 p 值 p。
μ₀ = 100σ = 24n = 64x̄ = 103H₁: μ ≠ μ₀
p =
10.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.01 下，用容量为 36 的样本对 H₀: μ = 200 与 H₁: μ < 200 进行单侧 z 检验；已知标准差为 15。实际上均值为 195.25。 求该检验的功效 1 − β，以百分比表示。
μ₀ = 200μ = 195.25σ = 15n = 36α = 0.01
1 − β = %
11.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 求最小二乘直线的决定系数 r²。
n = 5
r² =
12.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 10？
n = 6ŷ = 10
x =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 15.87
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 247/7 = 35.29
离差平方
Σ(x − x̄)² = 18.71² + 5.714² + (−22.29)² + (−19.29)² + 5.714² + 14.71² + (−3.286)² = 1511
标准差
s = √(1511/6) = 15.87
答案
s = 15.87
2.描述统计
答案: z = −1.5
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (38 − 50)/8 = −1.5
答案
z = −1.5
3.概率
答案: Var(X) = 5.4
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 0·0.25 + 2·0.3 + 4·0.15 + 6·0.3 = 3
平方的均值
E(X²) = 0·0.25 + 4·0.3 + 16·0.15 + 36·0.3 = 14.4
方差
Var(X) = 14.4 − 3² = 5.4
答案
Var(X) = 5.4
4.概率
答案: P = 0.00129
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
零个和一个失效
P(X = 0) = 0.38 = 6.561 × 10⁻⁵
P(X = 1) = 8·0.7·0.37 = 0.001225
相加
P = 6.561 × 10⁻⁵ + 0.001225 = 0.00129
答案
P = 0.00129
5.正态分布
答案: P = 0.8461
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
总和的分布
μT = 72 kg, σT = 0.8·√6 = 1.96 kg
标准化
z = (70 − 72)/1.96 = −1.02
概率
P = 1 − Φ(−1.02) = 0.8461
答案
P = 0.8461
6.正态分布
答案: x = 39.69 min
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.9 → z = 1.282
换算回 x
x = 32 + 1.282·6 = 39.69 min
答案
x = 39.69 min
7.置信区间
答案: 上限 = 35.94
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 19, t = 2.861
误差范围
E = 2.861·8.5/√20 = 5.438
区间
30.5 ± 5.438 → [25.06, 35.94]
答案
上限 = 35.94
8.置信区间
答案: 下限 = 8.49 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
合并标准差
sp² = (4·4² + 16·4²)/20 = 16
sp = 4
误差范围
E = 1.725·4·√(1/5 + 1/17) = 3.51
区间
12 ± 3.51 → [8.49, 15.51]
答案
下限 = 8.49 kg
9.假设检验与置信区间
答案: p = 0.3173
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
检验统计量
SE = σ/√n = 24/√64 = 3
z = (103 − 100)/3 = 1
尾部面积
Φ(1) = 0.8413
1 − Φ(1) = 0.1587
p 值
p = 2·0.1587 = 0.3173
答案
p = 0.3173
p > 0.05，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀。
10.假设检验与置信区间
答案: 1 − β = 33.51 %
检验功效：功效 = 1 − β，是 H₀ 为假时拒绝 H₀ 的概率。由 μ₀ 和 z_α 求出临界值 x̄c，再用真实均值计算落在 x̄c 以外的概率：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
临界样本均值
SE = 15/√36 = 2.5
x̄c = 200 − 2.326·2.5 = 194.2
真实均值下的 z
z = (194.2 − 195.25)/2.5 = −0.426
功率
功效 = P(Z < −0.426) = 33.51%
1 − β = 33.51%
答案
1 − β = 33.51%
11.线性回归与相关
答案: r² = 0.987
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 100/5 = 20
ȳ = 520/5 = 104
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 573
Syy = Σ(y − ȳ)² = 3696
决定系数
r² = 573²/(90·3696) = 0.987
答案
r² = 0.987
y 的变异中约有 98.7% 可由该直线解释。
12.线性回归与相关
答案: x = 5.526
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 93/6 = 15.5
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −47.5
回归直线
b = −47.5/17.5 = −2.714
a = 15.5 − (−2.714)·3.5 = 25
ŷ = 25 − 2.714·x
解出 x
x = (10 − 25)/(−2.714) = 5.526
答案
x = 5.526
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