统计学基础：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：22, 42, 19, 28, 59, 48。

n = 6

s =

2.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 70，标准差为 12。数值低于 46 的比例 P 是多少？

μ = 70σ = 12x = 46

P =

3.概率中等

对图中的分布，求 X 的标准差 σ。

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.25, 0.1, 0.35, 0.2, 0.1

σ =

4.概率困难

一份测试有 7 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.5，相互独立。恰好答对 3 题的概率 P 是多少？

n = 7p = 0.5k = 3

P =

5.正态分布中等

拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.9625。求 z，保留两位小数。

A = 0.9625

z =

6.正态分布困难

智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。求数值 x，使得有 10% 的数据低于它（第 10 百分位数）。

μ = 100σ = 15P = 10%

x = 分

7.置信区间中等

基于 64 个观测值且 σ 已知的均值 99% 置信区间，其误差范围为 9.5。如果同一研究改用 128 个观测值，误差范围 E₂ 是多少？

99%n₁ = 64E₁ = 9.5n₂ = 128

E₂ =

8.置信区间困难

总体标准差为 40。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 1？

σ = 40E = 190%

n =

9.假设检验与置信区间中等

两条生产线生产同一种零件。生产线 1：30 个零件的样本平均长度为 81 mm，该生产线的已知标准差为 14 mm。生产线 2：50 个零件的样本均值为 87.7 mm，已知标准差为 3 mm。取差值为 x̄₁ − x̄₂（生产线 1 减生产线 2），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 z。

n₁ = 30x̄₁ = 81 mmσ₁ = 14 mmn₂ = 50x̄₂ = 87.7 mmσ₂ = 3 mm

z =

10.假设检验与置信区间困难

在一项试验中，接受治疗 A 的 300 名患者中有 165 人康复，接受治疗 B 的 300 名患者中有 174 人康复。用合并比例求 H₀: p₁ = p₂ 的检验统计量 z。

x₁ = 165n₁ = 300x₂ = 174n₂ = 300

z =

11.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 车龄（年）和 y = 价格 (k€)。求皮尔逊相关系数 r。

n = 5

r =

12.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 车龄（年）和 y = 价格 (k€)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。预测 x = 2.5 时的 ŷ。

n = 5x = 2.5

ŷ =

3溶液

1.描述统计

答案: s = 15.86

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 218/6 = 36.33

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−14.33)² + 5.667² + (−17.33)² + (−8.333)² + 22.67² + 11.67² = 1257

标准差

s = √(1257/5) = 15.86

答案

s = 15.86

2.描述统计

答案: P = 0.02275

标准化

z = −2

标准正态分布表

Φ(−2) = 0.02275

P = 0.02275

答案

P = 0.02275

3.概率

答案: σ = 1.288

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 1·0.25 + 2·0.1 + 3·0.35 + 4·0.2 + 5·0.1 = 2.8

平方的均值

E(X²) = 1·0.25 + 4·0.1 + 9·0.35 + 16·0.2 + 25·0.1 = 9.5

方差

Var(X) = 9.5 − 2.8² = 1.66

σ = √1.66 = 1.288

答案

σ = 1.288

4.概率

答案: P = 0.2734

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

二项分布公式

P(X = 3) = 35·0.5³·0.5⁴ = 35·0.125·0.0625 = 0.2734

答案

P = 0.2734

5.正态分布

答案: z = −1.78

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = 1 − 0.9625 = 0.0375

反向查 z 表

在表中找到 0.0375，读出 z。

z = −1.78

答案

z = −1.78

6.正态分布

答案: x = 80.78 分

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.1 → z = −1.282

换算回 x

x = 100 + −1.282·15 = 80.78 分

答案

x = 80.78 分

7.置信区间

答案: E₂ = 6.718

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

误差范围之比

E₂/E₁ = (2.576/2.576)·√(64/128) = 0.7071

新的误差范围

E₂ = 9.5·0.7071 = 6.718

答案

E₂ = 6.718

8.置信区间

答案: n = 4330

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

解出 n

n = (1.645·40/1)² = 4330

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 4330

答案

n = 4330

9.假设检验与置信区间

答案: z = −2.586

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

差值的标准误

SE = √(14²/30 + 3²/50) = √6.713 = 2.591

检验统计量

z = (81 − 87.7)/2.591 = −2.586

答案

z = −2.586

|z| > 1.96，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

10.假设检验与置信区间

答案: z = −0.7411

样本比例

p̂₁ = 165/300 = 0.55

p̂₂ = 174/300 = 0.58

p̂ = 339/600 = 0.565

H₀ 下的标准误

SE = √(0.565·0.435·(1/300 + 1/300)) = 0.04048

检验统计量

z = (0.55 − 0.58)/0.04048 = −0.7411

答案

z = −0.7411

|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。

11.线性回归与相关

答案: r = −0.9192

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 110/5 = 22

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −13

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 20

答案

r = −0.9192

12.线性回归与相关

答案: ŷ = 24.15

均值

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 117/5 = 23.4

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −15

回归直线

b = −15/10 = −1.5

a = 23.4 − (−1.5)·3 = 27.9

ŷ = 27.9 − 1.5·x

预测

ŷ = 27.9 + (−1.5)·2.5 = 24.15

答案

ŷ = 24.15

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