描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：47, 52, 33, 44, 21。
n = 5
s =
2.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 100，标准差为 15。求成绩 92.5 的 z 分数 z。
μ = 100σ = 15x = 92.5
z =
3.概率中等
一颗均匀骰子掷 2 次。至少掷出一次六点的概率 P 是多少？
n = 2
P =
4.概率困难
X 的分布如图所示，Y = 3X + 1。求 Y 的标准差 σY。
x: 0, 1, 2p(x): 0.3, 0.35, 0.35Y = 3X + 1
σY =
5.正态分布中等
拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.8888。求 z，保留两位小数。
A = 0.8888
z =
6.正态分布困难
电池寿命 服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。拖动截断值，使阴影的后 95% 位于其左侧。求截断值 x。
μ = 500 hσ = 40 h95%
x = h
7.置信区间中等
测量 10 名患者治疗前后的血压。差值 d = 治疗前 − 治疗后 (mmHg) 的均值为 8.4，标准差为 3.7。 求平均差值的 90% 置信区间的下限。
n = 10d̄ = 8.4sd = 3.790%t(9) = 1.833
下限 = mmHg
8.置信区间困难
总体标准差为 23。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 5？
σ = 23E = 595%
n =
9.假设检验与置信区间中等
81 名学生的样本平均分为 73.62，样本标准差为 4。求 H₀: μ = 75 的检验统计量 t。
μ₀ = 75x̄ = 73.62s = 4n = 81
t =
10.假设检验与置信区间困难
16 次测量的样本均值为 76.9。总体标准差为 4。求均值 90% 置信区间的上限 U。
x̄ = 76.9σ = 4n = 1690%
U =
11.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 求最小二乘直线的决定系数 r²。
n = 6
r² =
12.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 预测 x = 5.5 时的 ŷ。
n = 6x = 5.5
ŷ =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 12.42
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 197/5 = 39.4
离差平方
Σ(x − x̄)² = 7.6² + 12.6² + (−6.4)² + 4.6² + (−18.4)² = 617.2
标准差
s = √(617.2/4) = 12.42
答案
s = 12.42
2.描述统计
答案: z = −0.5
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (92.5 − 100)/15 = −0.5
答案
z = −0.5
3.概率
答案: P = 0.3056
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
补事件
P(没有六点) = (5/6)2 = 0.6944
P = 1 − 0.6944 = 0.3056
答案
P = 0.3056
4.概率
答案: σY = 2.414
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
X 的离散程度
μ = 1.05, Var(X) = 0.6475, σX = 0.8047
线性变换
σY = |3|·0.8047 = 2.414
答案
σY = 2.414
均值确实会改变：E(Y) = 3·1.05 + 1 = 4.15。
5.正态分布
答案: z = −1.22
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
z 左侧的面积
Φ(z) = 1 − 0.8888 = 0.1112
反向查 z 表
在表中找到 0.1112，读出 z。
z = −1.22
答案
z = −1.22
6.正态分布
答案: x = 566 h
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.95
由表得到的 z
z ≈ 1.64
回到原来的单位
x = 500 + 1.64·40 = 566 h
答案
x = 566 h
7.置信区间
答案: 下限 = 6.255 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
临界值
df = 9, t = 1.833
误差范围
E = 1.833·3.7/√10 = 2.145
区间
8.4 ± 2.145 → [6.255, 10.54]
答案
下限 = 6.255 mmHg
8.置信区间
答案: n = 82
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (1.96·23/5)² = 81.29
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 82
答案
n = 82
9.假设检验与置信区间
答案: t = −3.105
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 4/√81 = 4/9 = 0.4444
检验统计量
t = (73.62 − 75)/0.4444 = −3.105
答案
t = −3.105
t0.025; df = 80 = 1.99
|t| > 1.99，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。
10.假设检验与置信区间
答案: U = 78.55
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
误差范围
E = 1.645·4/√16 = 1.645
区间端点
U = 76.9 + 1.645 = 78.55
答案
U = 78.55
11.线性回归与相关
答案: r² = 0.9613
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 100/6 = 16.67
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −54
Syy = Σ(y − ȳ)² = 173.3
决定系数
r² = −54²/(17.5·173.3) = 0.9613
答案
r² = 0.9613
y 的变异中约有 96.13% 可由该直线解释。
12.线性回归与相关
答案: ŷ = 80.38
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 400/6 = 66.67
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 120
回归直线
b = 120/17.5 = 6.857
a = 66.67 − 6.857·3.5 = 42.67
ŷ = 42.67 + 6.857·x
预测
ŷ = 42.67 + 6.857·5.5 = 80.38
答案
ŷ = 80.38
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