描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：33, 42, 45, 13, 32, 55。
n = 6
s =
2.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 500，标准差为 25。数值低于 487.5 的比例 P 是多少？
μ = 500σ = 25x = 487.5
P =
3.概率中等
一颗均匀骰子掷 3 次。至少掷出一次六点的概率 P 是多少？
n = 3
P =
4.概率困难
一局游戏的参与费用为 €2。你以概率 0.3 赢得 €4，以概率 0.02 赢得 €100；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。
赌注 = €2€4: p = 0.3€100: p = 0.02
E(G) = €
5.正态分布中等
电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。介于 468 和 550 h 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 500σ = 40x1 = 468x2 = 550
P =
6.正态分布困难
成年男性的身高服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。求数值 x，使得有 5% 的数据低于它（第 5 百分位数）。
μ = 178σ = 7P = 5%
x = cm
7.置信区间中等
比较两种手机型号的电池续航时间。型号 1：80 部手机，均值 91.5 h，已知标准差 7 h。型号 2：100 部手机，均值 85.5 h，已知标准差 17 h。 求 μ₁ − μ₂ 的 99% 置信区间的误差范围 E。
n₁ = 80x̄₁ = 91.5 hσ₁ = 7 hn₂ = 100x̄₂ = 85.5 hσ₂ = 17 h99%
E = h
8.置信区间困难
总体标准差为 31。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 0.5？
σ = 31E = 0.590%
n =
9.假设检验与置信区间中等
100 名学生的样本平均分为 72.92，样本标准差为 8。求 H₀: μ = 75 的检验统计量 t。
μ₀ = 75x̄ = 72.92s = 8n = 100
t =
10.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.05 下的单侧 z 检验，必须以 80% 的功效检测出均值 3 个单位的偏移。标准差为 28。求最小样本量 n。
α = 0.05功效 = 80%δ = 3σ = 28zα = 1.645zβ = 0.842
n =
11.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 求皮尔逊相关系数 r。
n = 6
r =
12.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (2, 38)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 5(2, 38)
e =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 14.35
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 220/6 = 36.67
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−3.667)² + 5.333² + 8.333² + (−23.67)² + (−4.667)² + 18.33² = 1029
标准差
s = √(1029/5) = 14.35
答案
s = 14.35
2.描述统计
答案: P = 0.3085
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = −0.5
标准正态分布表
Φ(−0.5) = 0.3085
P = 0.3085
答案
P = 0.3085
3.概率
答案: P = 0.4213
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
补事件
P(没有六点) = (5/6)3 = 0.5787
P = 1 − 0.5787 = 0.4213
答案
P = 0.4213
4.概率
答案: E(G) = 1.2 €
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
净结果
G: 2 (p = 0.3), 98 (p = 0.02), −2 (p = 0.68)
期望值
E(G) = 2·0.3 + 98·0.02 − 2·0.68 = 1.2 €
答案
E(G) = 1.2 €
正值表示平均而言你会赢钱。
5.正态分布
答案: P = 0.6825
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (468 − 500)/40 = −0.8
z₂ = (550 − 500)/40 = 1.25
中间面积
P = Φ(1.25) − Φ(−0.8) = 0.8944 − 0.2119 = 0.6825
答案
P = 0.6825
6.正态分布
答案: x = 166.5 cm
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.05 → z = −1.645
换算回 x
x = 178 + −1.645·7 = 166.49 cm
答案
x = 166.49 cm
7.置信区间
答案: E = 4.821 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
点估计
x̄₁ − x̄₂ = 91.5 − 85.5 = 6
标准误
SE = √(7²/80 + 17²/100) = 1.871
误差范围
E = 2.576·1.871 = 4.821
答案
E = 4.821 h
区间不包含 0，所以两个均值有显著差异。
8.置信区间
答案: n = 10402
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (1.645·31/0.5)² = 10402
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 10402
答案
n = 10402
9.假设检验与置信区间
答案: t = −2.6
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 8/√100 = 8/10 = 0.8
检验统计量
t = (72.92 − 75)/0.8 = −2.6
答案
t = −2.6
t0.025; df = 99 = 1.984
|t| > 1.984，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。
10.假设检验与置信区间
答案: n = 539
检验的样本量：在水平 α 下的单侧 z 检验中，要以功效 1 − β 检测出真实偏移 δ，标准误必须满足 δ = (z_α + z_β)·σ/√n，所以 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²，向上取整。
解出 n
n = ((1.645 + 0.842)·28/3)² = 538.8
向上取整
n = 539
答案
n = 539
11.线性回归与相关
答案: r = −0.9718
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 121/6 = 20.17
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −46.5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 130.8
相关系数
r = −46.5/√(17.5·130.8) = −0.9718
答案
r = −0.9718
12.线性回归与相关
答案: e = −3.9
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 274/5 = 54.8
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 172
回归直线
b = 172/40 = 4.3
a = 54.8 − 4.3·5 = 33.3
ŷ = 33.3 + 4.3·x
预测值
ŷ = 33.3 + 4.3·2 = 41.9
残差
e = 38 − 41.9 = −3.9
答案
e = −3.9
该点位于直线下方。
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1