描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：10, 13, 36, 59, 11, 29, 37。
n = 7
s =
2.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 70，标准差为 20。数值高于 100 的比例 P 是多少？
μ = 70σ = 20x = 100
P =
3.概率中等
袋中有 3 个红球和 4 个蓝球。不放回地依次摸出两个球。两个都是红球的概率 P 是多少？
3 / 4
P =
4.概率困难
一局游戏的参与费用为 €2。你以概率 0.25 赢得 €10，以概率 0.01 赢得 €40；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。
赌注 = €2€10: p = 0.25€40: p = 0.01
E(G) = €
5.正态分布中等
智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。介于 93.25 和 103.75 分 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 100σ = 15x1 = 93.25x2 = 103.75
P =
6.正态分布困难
袋装重量服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。求数值 x，使得有 80% 的数据低于它（第 80 百分位数）。
μ = 250σ = 5P = 80%
x = g
7.置信区间中等
一个包含 21 个个体的样本，均值为 67.5，标准差 s = 14.5。总体近似服从正态分布。 求均值的 99% 置信区间的上限。
n = 21x̄ = 67.5s = 14.599%t(20) = 2.845
上限 =
8.置信区间困难
事先对缺陷产品的比例一无所知。 必须检验多少件产品 n，才能使比例的 90% 置信区间的误差范围不超过 0.03？
p = 0.5E = 0.0390%
n =
9.假设检验与置信区间中等
8 名员工在培训课程前后各参加一次打字测试。记录每人的差值 d = 培训后 − 培训前（每分钟字数）。平均差值为 5.94，差值的标准差为 11.2。求 H₀: μd = 0 的配对检验统计量 t。
n = 8d̄ = 5.94sd = 11.2
t =
10.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.05 下，用容量为 36 的样本对 H₀: μ = 200 与 H₁: μ < 200 进行单侧 z 检验；已知标准差为 15。实际上均值为 196.5。 求该检验的功效 1 − β，以百分比表示。
μ₀ = 200μ = 196.5σ = 15n = 36α = 0.05
1 − β = %
11.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。
n = 5Σx = 15Σy = 112Σx² = 55Σy² = 2546Σxy = 317
r =
12.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 预测 x = 7 时的 ŷ。
n = 6x = 7
ŷ =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 18
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 195/7 = 27.86
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−17.86)² + (−14.86)² + 8.143² + 31.14² + (−16.86)² + 1.143² + 9.143² = 1945
标准差
s = √(1945/6) = 18
答案
s = 18
2.描述统计
答案: P = 0.06681
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = 1.5
标准正态分布表
Φ(1.5) = 0.9332
P = 1 − 0.9332 = 0.06681
答案
P = 0.06681
3.概率
答案: P = 0.1429
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
第一次和第二次摸球
P = 3/7 · 2/6 = 6/42 = 0.1429
答案
P = 0.1429
4.概率
答案: E(G) = 0.9 €
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
净结果
G: 8 (p = 0.25), 38 (p = 0.01), −2 (p = 0.74)
期望值
E(G) = 8·0.25 + 38·0.01 − 2·0.74 = 0.9 €
答案
E(G) = 0.9 €
正值表示平均而言你会赢钱。
5.正态分布
答案: P = 0.2724
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (93.25 − 100)/15 = −0.45
z₂ = (103.75 − 100)/15 = 0.25
中间面积
P = Φ(0.25) − Φ(−0.45) = 0.5987 − 0.3264 = 0.2724
答案
P = 0.2724
6.正态分布
答案: x = 254.2 g
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.8 → z = 0.8416
换算回 x
x = 250 + 0.8416·5 = 254.21 g
答案
x = 254.21 g
7.置信区间
答案: 上限 = 76.5
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 20, t = 2.845
误差范围
E = 2.845·14.5/√21 = 9.002
区间
67.5 ± 9.002 → [58.5, 76.5]
答案
上限 = 76.5
8.置信区间
答案: n = 752
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.
解出 n
n = 1.645²·0.5·0.5/0.03² = 751.7
向上取整
n = 752
答案
n = 752
9.假设检验与置信区间
答案: t = 1.5
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
平均差值的标准误
SE = 11.2/√8 = 3.96
检验统计量
t = 5.94/3.96 = 1.5
答案
t = 1.5
df = 7 时，双侧 5% 的临界值为 2.365；|t| 更小，所以不拒绝 H₀。
10.假设检验与置信区间
答案: 1 − β = 40.32 %
检验功效：功效 = 1 − β，是 H₀ 为假时拒绝 H₀ 的概率。由 μ₀ 和 z_α 求出临界值 x̄c，再用真实均值计算落在 x̄c 以外的概率：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
临界样本均值
SE = 15/√36 = 2.5
x̄c = 200 − 1.645·2.5 = 195.9
真实均值下的 z
z = (195.9 − 196.5)/2.5 = −0.245
功率
功效 = P(Z < −0.245) = 40.32%
1 − β = 40.32%
答案
1 − β = 40.32%
11.线性回归与相关
答案: r = −0.9851
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
中心化后的和
Sxy = 317 − 15·112/5 = −19
Sxx = 55 − 15²/5 = 10
Syy = 2546 − 112²/5 = 37.2
相关系数
r = −19/√(10·37.2) = −0.9851
答案
r = −0.9851
12.线性回归与相关
答案: ŷ = 22.67
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 136/6 = 22.67
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 204
回归直线
b = 204/70 = 2.914
a = 22.67 − 2.914·7 = 2.267
ŷ = 2.267 + 2.914·x
预测
ŷ = 2.267 + 2.914·7 = 22.67
答案
ŷ = 22.67
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