描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：53, 58, 54, 26, 26, 25。
n = 6
s =
2.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 70，标准差为 8。数值低于 82 的比例 P 是多少？
μ = 70σ = 8x = 82
P =
3.概率中等
对图中的分布，求 X 的标准差 σ。
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.3, 0.3, 0.15, 0.25
σ =
4.概率困难
一份测试有 11 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.4，相互独立。恰好答对 3 题的概率 P 是多少？
n = 11p = 0.4k = 3
P =
5.正态分布中等
拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.9850。求 z，保留两位小数。
A = 0.9850
z =
6.正态分布困难
成年男性的身高服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。求数值 x，使得有 80% 的数据低于它（第 80 百分位数）。
μ = 178σ = 7P = 80%
x = cm
7.置信区间中等
测量 20 名患者治疗前后的血压。差值 d = 治疗前 − 治疗后 (mmHg) 的均值为 6.1，标准差为 5.9。 求平均差值的 90% 置信区间的误差范围 E。
n = 20d̄ = 6.1sd = 5.990%t(19) = 1.729
E = mmHg
8.置信区间困难
总体标准差为 20。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 1.5？
σ = 20E = 1.590%
n =
9.假设检验与置信区间中等
比较两种教学方法。第 1 组：11 名学生，平均分 114.5，标准差 4。第 2 组：5 名学生，平均分 112.6，标准差 4。假设总体方差相等，使用合并方差的两样本 t 检验。取差值为 x̄₁ − x̄₂（第 1 组减第 2 组），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 t。
n₁ = 11x̄₁ = 114.5s₁ = 4n₂ = 5x̄₂ = 112.6s₂ = 4
t =
10.假设检验与置信区间困难
在一项试验中，接受治疗 A 的 80 名患者中有 56 人康复，接受治疗 B 的 300 名患者中有 225 人康复。用合并比例求 H₀: p₁ = p₂ 的检验统计量 z。
x₁ = 56n₁ = 80x₂ = 225n₂ = 300
z =
11.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 求皮尔逊相关系数 r。
n = 6
r =
12.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 预测 x = 23 时的 ŷ。
n = 6x = 23
ŷ =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 16.16
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 242/6 = 40.33
离差平方
Σ(x − x̄)² = 12.67² + 17.67² + 13.67² + (−14.33)² + (−14.33)² + (−15.33)² = 1305
标准差
s = √(1305/5) = 16.16
答案
s = 16.16
2.描述统计
答案: P = 0.9332
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = 1.5
标准正态分布表
Φ(1.5) = 0.9332
P = 0.9332
答案
P = 0.9332
3.概率
答案: σ = 1.152
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 1·0.3 + 2·0.3 + 3·0.15 + 4·0.25 = 2.35
平方的均值
E(X²) = 1·0.3 + 4·0.3 + 9·0.15 + 16·0.25 = 6.85
方差
Var(X) = 6.85 − 2.35² = 1.328
σ = √1.328 = 1.152
答案
σ = 1.152
4.概率
答案: P = 0.1774
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
二项分布公式
P(X = 3) = 165·0.43·0.68 = 165·0.064·0.0168 = 0.1774
答案
P = 0.1774
5.正态分布
答案: z = −2.17
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
z 左侧的面积
Φ(z) = 1 − 0.9850 = 0.0150
反向查 z 表
在表中找到 0.0150，读出 z。
z = −2.17
答案
z = −2.17
6.正态分布
答案: x = 183.9 cm
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.8 → z = 0.8416
换算回 x
x = 178 + 0.8416·7 = 183.89 cm
答案
x = 183.89 cm
7.置信区间
答案: E = 2.281 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
临界值
df = 19, t = 1.729
误差范围
E = 1.729·5.9/√20 = 2.281
答案
E = 2.281 mmHg
8.置信区间
答案: n = 482
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (1.645·20/1.5)² = 481.1
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 482
答案
n = 482
9.假设检验与置信区间
答案: t = 0.8807
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
合并方差
sp² = (10·4² + 4·4²)/14 = 16
sp = 4
标准误
SE = 4·√(1/11 + 1/5) = 2.157
检验统计量
t = (114.5 − 112.6)/2.157 = 0.8807
答案
t = 0.8807
df = 14 时，双侧 5% 的临界值为 2.145；|t| 更小，所以不拒绝 H₀。
10.假设检验与置信区间
答案: z = −0.9053
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
样本比例
p̂₁ = 56/80 = 0.7
p̂₂ = 225/300 = 0.75
p̂ = 281/380 = 0.7395
H₀ 下的标准误
SE = √(0.7395·0.2605·(1/80 + 1/300)) = 0.05523
检验统计量
z = (0.7 − 0.75)/0.05523 = −0.9053
答案
z = −0.9053
|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
11.线性回归与相关
答案: r = 0.7388
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 27/6 = 4.5
ȳ = 287/6 = 47.83
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 24.5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 62.83
相关系数
r = 24.5/√(17.5·62.83) = 0.7388
答案
r = 0.7388
12.线性回归与相关
答案: ŷ = 118
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 114/6 = 19
ȳ = 589/6 = 98.17
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 347
回归直线
b = 347/70 = 4.957
a = 98.17 − 4.957·19 = 3.981
ŷ = 3.981 + 4.957·x
预测
ŷ = 3.981 + 4.957·23 = 118
答案
ŷ = 118
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