描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：19, 37, 33, 42, 10, 31。
n = 6
s =
2.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 50，标准差为 12。求成绩 57.2 的 z 分数 z。
μ = 50σ = 12x = 57.2
z =
3.概率中等
对图中的分布，求 X 的标准差 σ。
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.25, 0.25, 0.2, 0.3
σ =
4.概率困难
X 的分布如图所示，Y = 5X + 20。求 Y 的标准差 σY。
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.2, 0.3, 0.3, 0.2Y = 5X + 20
σY =
5.正态分布中等
带行李的乘客的质量相互独立，服从均值 85 kg、标准差 12 kg 的正态分布。求其中 16 个的总质量超过 1312 kg 的概率 P。z 取两位小数。
μ = 85 kgσ = 12 kgn = 16> 1312 kg
P =
6.正态分布困难
1 号生产线产品的质量 X 与 2 号生产线产品的质量 Y相互独立且服从正态分布：X 的均值为 500 g，标准差为 8 g，Y 的均值为 490 g，标准差为 6 g。求 X 大于 Y 的概率 P。z 取两位小数。
μX = 500 g, σX = 8 gμY = 490 g, σY = 6 g
P =
7.置信区间中等
测量 8 名患者治疗前后的血压。差值 d = 治疗前 − 治疗后 (mmHg) 的均值为 −8.1，标准差为 1.8。 求平均差值的 90% 置信区间的误差范围 E。
n = 8d̄ = −8.1sd = 1.890%t(7) = 1.895
E = mmHg
8.置信区间困难
11 根机加工轴的直径样本标准差为 6.3 µm。假设直径服从正态分布，求总体标准差 95% 置信区间的上限 σ。df = 10 时，χ² 分布有 2.5% 位于 3.247 以下，2.5% 位于 20.483 以上。
n = 11s = 6.3 µmχ² = 3.247, 20.483
σ = µm
9.假设检验与置信区间中等
据称某总体的均值为 80；已知总体标准差为 24。一个含 144 个观测值的随机样本均值为 84.92。检验 H₀: μ = 80 对 H₁: μ > 80。求 p 值 p。
μ₀ = 80σ = 24n = 144x̄ = 84.92H₁: μ > μ₀
p =
10.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.01 下的单侧 z 检验，必须以 90% 的功效检测出均值 1.5 个单位的偏移。标准差为 10。求最小样本量 n。
α = 0.01功效 = 90%δ = 1.5σ = 10zα = 2.326zβ = 1.282
n =
11.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 求皮尔逊相关系数 r。
n = 5
r =
12.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (16.5, 68)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 6(16.5, 68)
e =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 11.94
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 172/6 = 28.67
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−9.667)² + 8.333² + 4.333² + 13.33² + (−18.67)² + 2.333² = 713.3
标准差
s = √(713.3/5) = 11.94
答案
s = 11.94
2.描述统计
答案: z = 0.6
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (57.2 − 50)/12 = 0.6
答案
z = 0.6
3.概率
答案: σ = 1.161
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 1·0.25 + 2·0.25 + 3·0.2 + 4·0.3 = 2.55
平方的均值
E(X²) = 1·0.25 + 4·0.25 + 9·0.2 + 16·0.3 = 7.85
方差
Var(X) = 7.85 − 2.55² = 1.348
σ = √1.348 = 1.161
答案
σ = 1.161
4.概率
答案: σY = 5.123
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
X 的离散程度
μ = 1.5, Var(X) = 1.05, σX = 1.025
线性变换
σY = |5|·1.025 = 5.123
答案
σY = 5.123
均值确实会改变：E(Y) = 5·1.5 + 20 = 27.5。
5.正态分布
答案: P = 0.8413
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
总和的分布
μT = 1360 kg, σT = 12·√16 = 48 kg
标准化
z = (1312 − 1360)/48 = −1
概率
P = 1 − Φ(−1) = 0.8413
答案
P = 0.8413
6.正态分布
答案: P = 0.8413
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
差的分布
μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g
标准化
z = (0 − 10)/10 = −1
概率
P = 1 − Φ(−1) = 0.8413
答案
P = 0.8413
7.置信区间
答案: E = 1.206 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
临界值
df = 7, t = 1.895
误差范围
E = 1.895·1.8/√8 = 1.206
答案
E = 1.206 mmHg
8.置信区间
答案: σ = 11.06 µm
方差的区间：(n − 1)s²/σ² 服从自由度为 n − 1 的 χ² 分布。σ² 的 95% 区间从 (n − 1)s² 除以上侧 χ² 值（其上方占 2.5%）到 (n − 1)s² 除以下侧 χ² 值（其下方占 2.5%）；σ 的区间是这两个限值的平方根。它关于 s 不对称。
平方和
(n − 1)s² = 10·6.3² = 396.9
σ² 的限值
396.9/20.483 = 19.38
396.9/3.247 = 122.2
σ 的限值
σ = √122.2 = 11.06 µm
答案
σ = 11.06 µm
σ 的 95% 区间：[4.402, 11.06] µm。
9.假设检验与置信区间
答案: p = 0.006947
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
检验统计量
SE = σ/√n = 24/√144 = 2
z = (84.92 − 80)/2 = 2.46
尾部面积
Φ(2.46) = 0.9931
1 − Φ(2.46) = 0.0069
p 值
p = 0.006947
答案
p = 0.006947
p ≤ 0.05，所以在 5% 水平下拒绝 H₀。
10.假设检验与置信区间
答案: n = 579
检验的样本量：在水平 α 下的单侧 z 检验中，要以功效 1 − β 检测出真实偏移 δ，标准误必须满足 δ = (z_α + z_β)·σ/√n，所以 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²，向上取整。
解出 n
n = ((2.326 + 1.282)·10/1.5)² = 578.6
向上取整
n = 579
答案
n = 579
11.线性回归与相关
答案: r = 0.9856
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 362/5 = 72.4
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 176
Syy = Σ(y − ȳ)² = 797.2
相关系数
r = 176/√(40·797.2) = 0.9856
答案
r = 0.9856
12.线性回归与相关
答案: e = 3.686
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 135/6 = 22.5
ȳ = 582/6 = 97
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 858
回归直线
b = 858/157.5 = 5.448
a = 97 − 5.448·22.5 = −25.57
ŷ = −25.57 + 5.448·x
预测值
ŷ = −25.57 + 5.448·16.5 = 64.31
残差
e = 68 − 64.31 = 3.686
答案
e = 3.686
该点位于直线上方。
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1