描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：28, 11, 43, 52, 31。
n = 5
s =
2.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 100，标准差为 5。求成绩 102 的 z 分数 z。
μ = 100σ = 5x = 102
z =
3.概率中等
一颗均匀骰子掷 6 次。至少掷出一次六点的概率 P 是多少？
n = 6
P =
4.概率困难
X 的分布如图所示，Y = 5X + 1。求 Y 的标准差 σY。
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.3, 0.1, 0.25, 0.35Y = 5X + 1
σY =
5.正态分布中等
X 服从均值 12 min、标准差 1.5 min 的正态分布；Y 独立，服从均值 20 min、标准差 2 min 的正态分布。求 X + Y 大于 35.8 min 的概率 P。z 取两位小数。
μX = 12, σX = 1.5μY = 20, σY = 2X + Y > 35.8 min
P =
6.正态分布困难
袋装重量 服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。拖动截断值，使阴影的前 30% 位于其右侧。求截断值 x。
μ = 250 gσ = 5 g30%
x = g
7.置信区间中等
一个包含 6 个个体的样本，均值为 56.5，标准差 s = 3。总体近似服从正态分布。 求均值的 99% 置信区间的下限。
n = 6x̄ = 56.5s = 399%t(5) = 4.032
下限 =
8.置信区间困难
15 根机加工轴的直径样本标准差为 8.4 µm。假设直径服从正态分布，求总体标准差 95% 置信区间的下限 σ。df = 14 时，χ² 分布有 2.5% 位于 5.629 以下，2.5% 位于 26.119 以上。
n = 15s = 8.4 µmχ² = 5.629, 26.119
σ = µm
9.假设检验与置信区间中等
两条生产线生产同一种零件。生产线 1：50 个零件的样本平均长度为 106.5 mm，该生产线的已知标准差为 13 mm。生产线 2：30 个零件的样本均值为 108.4 mm，已知标准差为 11 mm。取差值为 x̄₁ − x̄₂（生产线 1 减生产线 2），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 z。
n₁ = 50x̄₁ = 106.5 mmσ₁ = 13 mmn₂ = 30x̄₂ = 108.4 mmσ₂ = 11 mm
z =
10.假设检验与置信区间困难
100 次测量的样本均值为 75.1。总体标准差为 12。求均值 99% 置信区间的上限 U。
x̄ = 75.1σ = 12n = 10099%
U =
11.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 求最小二乘直线的决定系数 r²。
n = 6
r² =
12.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 预测 x = 11 时的 ŷ。
n = 6x = 11
ŷ =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 15.6
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 165/5 = 33
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−5)² + (−22)² + 10² + 19² + (−2)² = 974
标准差
s = √(974/4) = 15.6
答案
s = 15.6
2.描述统计
答案: z = 0.4
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (102 − 100)/5 = 0.4
答案
z = 0.4
3.概率
答案: P = 0.6651
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
补事件
P(没有六点) = (5/6)6 = 0.3349
P = 1 − 0.3349 = 0.6651
答案
P = 0.6651
4.概率
答案: σY = 12.36
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
X 的离散程度
μ = 3.3, Var(X) = 6.11, σX = 2.472
线性变换
σY = |5|·2.472 = 12.36
答案
σY = 12.36
均值确实会改变：E(Y) = 5·3.3 + 1 = 17.5。
5.正态分布
答案: P = 0.06426
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
和的分布
μ = 32 min, σ = √(1.5² + 2²) = 2.5 min
标准化
z = (35.8 − 32)/2.5 = 1.52
上尾
P = 1 − Φ(1.52) = 1 − 0.9357 = 0.06426
答案
P = 0.06426
6.正态分布
答案: x = 252.6 g
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.7
由表得到的 z
z ≈ 0.52
回到原来的单位
x = 250 + 0.52·5 = 252.6 g
答案
x = 252.6 g
7.置信区间
答案: 下限 = 51.56
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 5, t = 4.032
误差范围
E = 4.032·3/√6 = 4.938
区间
56.5 ± 4.938 → [51.56, 61.44]
答案
下限 = 51.56
8.置信区间
答案: σ = 6.15 µm
方差的区间：(n − 1)s²/σ² 服从自由度为 n − 1 的 χ² 分布。σ² 的 95% 区间从 (n − 1)s² 除以上侧 χ² 值（其上方占 2.5%）到 (n − 1)s² 除以下侧 χ² 值（其下方占 2.5%）；σ 的区间是这两个限值的平方根。它关于 s 不对称。
平方和
(n − 1)s² = 14·8.4² = 987.8
σ² 的限值
987.8/26.119 = 37.82
987.8/5.629 = 175.5
σ 的限值
σ = √37.82 = 6.15 µm
答案
σ = 6.15 µm
σ 的 95% 区间：[6.15, 13.25] µm。
9.假设检验与置信区间
答案: z = −0.6978
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
差值的标准误
SE = √(13²/50 + 11²/30) = √7.413 = 2.723
检验统计量
z = (106.5 − 108.4)/2.723 = −0.6978
答案
z = −0.6978
|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
10.假设检验与置信区间
答案: U = 78.19
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
误差范围
E = 2.576·12/√100 = 3.091
区间端点
U = 75.1 + 3.091 = 78.19
答案
U = 78.19
11.线性回归与相关
答案: r² = 0.936
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 27/6 = 4.5
ȳ = 349/6 = 58.17
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 74.5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 338.8
决定系数
r² = 74.5²/(17.5·338.8) = 0.936
答案
r² = 0.936
y 的变异中约有 93.6% 可由该直线解释。
12.线性回归与相关
答案: ŷ = 125.9
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 589/6 = 98.17
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 485
回归直线
b = 485/70 = 6.929
a = 98.17 − 6.929·7 = 49.67
ŷ = 49.67 + 6.929·x
预测
ŷ = 49.67 + 6.929·11 = 125.9
答案
ŷ = 125.9
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