描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：58, 21, 34, 41, 30, 14。
n = 6
s =
2.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 500，标准差为 60。数值高于 575 的比例 P 是多少？
μ = 500σ = 60x = 575
P =
3.概率中等
一颗均匀骰子掷 7 次。至少掷出一次六点的概率 P 是多少？
n = 7
P =
4.概率困难
一份测试有 9 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.2，相互独立。恰好答对 4 题的概率 P 是多少？
n = 9p = 0.2k = 4
P =
5.正态分布中等
X 服从均值 12 min、标准差 1.5 min 的正态分布；Y 独立，服从均值 20 min、标准差 2 min 的正态分布。求 X + Y 大于 29.5 min 的概率 P。z 取两位小数。
μX = 12, σX = 1.5μY = 20, σY = 2X + Y > 29.5 min
P =
6.正态分布困难
智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。求数值 x，使得有 25% 的数据低于它（第 25 百分位数）。
μ = 100σ = 15P = 25%
x = 分
7.置信区间中等
一个包含 20 个个体的样本，均值为 42，标准差 s = 3。总体近似服从正态分布。 求均值的 90% 置信区间的下限。
n = 20x̄ = 42s = 390%t(19) = 1.729
下限 =
8.置信区间困难
对两种肥料进行试验。地块组 1：17 块地，平均产量 73.5 kg，标准差 3.5 kg。地块组 2：9 块地，均值 76.5 kg，标准差 3 kg。假设方差相等（合并 t，df = n₁ + n₂ − 2）。 求 μ₁ − μ₂ 的 95% 置信区间的下限。
n₁ = 17x̄₁ = 73.5s₁ = 3.5n₂ = 9x̄₂ = 76.5s₂ = 395%t(24) = 2.064
下限 = kg
9.假设检验与置信区间中等
比较两种教学方法。第 1 组：13 名学生，平均分 96.5，标准差 8。第 2 组：13 名学生，平均分 104.1，标准差 5。假设总体方差相等，使用合并方差的两样本 t 检验。取差值为 x̄₁ − x̄₂（第 1 组减第 2 组），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 t。
n₁ = 13x̄₁ = 96.5s₁ = 8n₂ = 13x̄₂ = 104.1s₂ = 5
t =
10.假设检验与置信区间困难
81 次测量的样本均值为 75.3。总体标准差为 5。求均值 95% 置信区间的下限 L。
x̄ = 75.3σ = 5n = 8195%
L =
11.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 求最小二乘直线的决定系数 r²。
n = 5
r² =
12.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 34？
n = 5ŷ = 34
x =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 15.52
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 198/6 = 33
离差平方
Σ(x − x̄)² = 25² + (−12)² + 1² + 8² + (−3)² + (−19)² = 1204
标准差
s = √(1204/5) = 15.52
答案
s = 15.52
2.描述统计
答案: P = 0.1056
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = 1.25
标准正态分布表
Φ(1.25) = 0.8944
P = 1 − 0.8944 = 0.1056
答案
P = 0.1056
3.概率
答案: P = 0.7209
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
补事件
P(没有六点) = (5/6)7 = 0.2791
P = 1 − 0.2791 = 0.7209
答案
P = 0.7209
4.概率
答案: P = 0.06606
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
二项分布公式
P(X = 4) = 126·0.24·0.85 = 126·0.0016·0.3277 = 0.06606
答案
P = 0.06606
5.正态分布
答案: P = 0.8413
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
和的分布
μ = 32 min, σ = √(1.5² + 2²) = 2.5 min
标准化
z = (29.5 − 32)/2.5 = −1
上尾
P = 1 − Φ(−1) = 1 − 0.1587 = 0.8413
答案
P = 0.8413
6.正态分布
答案: x = 89.88 分
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.25 → z = −0.6745
换算回 x
x = 100 + −0.6745·15 = 89.88 分
答案
x = 89.88 分
7.置信区间
答案: 下限 = 40.84
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 19, t = 1.729
误差范围
E = 1.729·3/√20 = 1.16
区间
42 ± 1.16 → [40.84, 43.16]
答案
下限 = 40.84
8.置信区间
答案: 下限 = −5.843 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
合并标准差
sp² = (16·3.5² + 8·3²)/24 = 11.17
sp = 3.342
误差范围
E = 2.064·3.342·√(1/17 + 1/9) = 2.843
区间
−3 ± 2.843 → [−5.843, −0.1568]
答案
下限 = −5.843 kg
9.假设检验与置信区间
答案: t = −2.905
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
合并方差
sp² = (12·8² + 12·5²)/24 = 44.5
sp = 6.671
标准误
SE = 6.671·√(1/13 + 1/13) = 2.617
检验统计量
t = (96.5 − 104.1)/2.617 = −2.905
答案
t = −2.905
df = 24 时，双侧 5% 的临界值为 2.064；|t| 更大，所以拒绝 H₀。
10.假设检验与置信区间
答案: L = 74.21
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
误差范围
E = 1.96·5/√81 = 1.089
区间端点
L = 75.3 − 1.089 = 74.21
答案
L = 74.21
11.线性回归与相关
答案: r² = 0.9529
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 250/5 = 50
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 108
Syy = Σ(y − ȳ)² = 306
决定系数
r² = 108²/(40·306) = 0.9529
答案
r² = 0.9529
y 的变异中约有 95.29% 可由该直线解释。
12.线性回归与相关
答案: x = 9.128
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 109/5 = 21.8
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 156
回归直线
b = 156/40 = 3.9
a = 21.8 − 3.9·6 = −1.6
ŷ = −1.6 + 3.9·x
解出 x
x = (34 − (−1.6))/3.9 = 9.128
答案
x = 9.128
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