描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：40, 47, 26, 48, 24。
n = 5
s =
2.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 70，标准差为 15。数值低于 85 的比例 P 是多少？
μ = 70σ = 15x = 85
P =
3.概率中等
对图中的分布，求 X 的标准差 σ。
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.05, 0.3, 0.3, 0.1, 0.25
σ =
4.概率困难
一份测试有 11 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.3，相互独立。恰好答对 5 题的概率 P 是多少？
n = 11p = 0.3k = 5
P =
5.正态分布中等
拖动 z，使标准正态曲线下 −z 与 z 之间的阴影面积为 0.8611。求 z，保留两位小数。
A = 0.8611
z =
6.正态分布困难
孔径 D 服从均值 25.02 mm、标准差 0.02 mm 的正态分布。轴径 d 独立，服从均值 25 mm、标准差 0.015 mm 的正态分布。随机选取的一根轴在 D − d > 0 时能装入。求它能装入的概率 P。z 取两位小数。
孔: μ = 25.02 mm, σ = 0.02 mm轴: μ = 25 mm, σ = 0.015 mm
P =
7.置信区间中等
基于 25 个观测值且 σ 已知的均值 95% 置信区间，其误差范围为 11.2。 如果同一研究改用 100 个观测值，误差范围 E₂ 是多少？
95%n₁ = 25E₁ = 11.2n₂ = 100
E₂ =
8.置信区间困难
总体标准差为 32。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 5？
σ = 32E = 595%
n =
9.假设检验与置信区间中等
20 名员工在培训课程前后各参加一次打字测试。记录每人的差值 d = 培训后 − 培训前（每分钟字数）。平均差值为 2.97，差值的标准差为 7.8。求 H₀: μd = 0 的配对检验统计量 t。
n = 20d̄ = 2.97sd = 7.8
t =
10.假设检验与置信区间困难
样本至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 2？标准差为 4。求最小样本量 n。
σ = 4E = 290%
n =
11.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。
n = 6Σx = 42Σy = 157Σx² = 364Σy² = 5015Σxy = 1350
r =
12.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 预测 x = 8 时的 ŷ。
n = 5x = 8
ŷ =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 11.4
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 185/5 = 37
离差平方
Σ(x − x̄)² = 3² + 10² + (−11)² + 11² + (−13)² = 520
标准差
s = √(520/4) = 11.4
答案
s = 11.4
2.描述统计
答案: P = 0.8413
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = 1
标准正态分布表
Φ(1) = 0.8413
P = 0.8413
答案
P = 0.8413
3.概率
答案: σ = 1.249
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 1·0.05 + 2·0.3 + 3·0.3 + 4·0.1 + 5·0.25 = 3.2
平方的均值
E(X²) = 1·0.05 + 4·0.3 + 9·0.3 + 16·0.1 + 25·0.25 = 11.8
方差
Var(X) = 11.8 − 3.2² = 1.56
σ = √1.56 = 1.249
答案
σ = 1.249
4.概率
答案: P = 0.1321
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
二项分布公式
P(X = 5) = 462·0.35·0.76 = 462·0.00243·0.1176 = 0.1321
答案
P = 0.1321
5.正态分布
答案: z = 1.48
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
z 左侧的面积
Φ(z) = (1 + 0.8611)/2 = 0.9306
反向查 z 表
在表中找到 0.9306，读出 z。
z = 1.48
答案
z = 1.48
6.正态分布
答案: P = 0.7881
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
差的分布
μ = 25.02 − 25 = 0.02 mm, σ = 0.025 mm
标准化
z = (0 − 0.02)/0.025 = −0.8
概率
P = 1 − Φ(−0.8) = 0.7881
答案
P = 0.7881
7.置信区间
答案: E₂ = 5.6
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
误差范围之比
E₂/E₁ = (1.96/1.96)·√(25/100) = 0.5
新的误差范围
E₂ = 11.2·0.5 = 5.6
答案
E₂ = 5.6
8.置信区间
答案: n = 158
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (1.96·32/5)² = 157.4
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 158
答案
n = 158
9.假设检验与置信区间
答案: t = 1.703
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
平均差值的标准误
SE = 7.8/√20 = 1.744
检验统计量
t = 2.97/1.744 = 1.703
答案
t = 1.703
df = 19 时，双侧 5% 的临界值为 2.093；|t| 更小，所以不拒绝 H₀。
10.假设检验与置信区间
答案: n = 11
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
解出 n
n = (1.645·4/2)² = 10.82
向上取整
n = 11
答案
n = 11
11.线性回归与相关
答案: r = 0.9962
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
中心化后的和
Sxy = 1350 − 42·157/6 = 251
Sxx = 364 − 42²/6 = 70
Syy = 5015 − 157²/6 = 906.8
相关系数
r = 251/√(70·906.8) = 0.9962
答案
r = 0.9962
12.线性回归与相关
答案: ŷ = 89.15
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 349/5 = 69.8
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 258
回归直线
b = 258/40 = 6.45
a = 69.8 − 6.45·5 = 37.55
ŷ = 37.55 + 6.45·x
预测
ŷ = 37.55 + 6.45·8 = 89.15
答案
ŷ = 89.15
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