描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：55, 31, 22, 52, 59, 39。
n = 6
s =
2.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 70，标准差为 20。求成绩 40 的 z 分数 z。
μ = 70σ = 20x = 40
z =
3.概率中等
对图中的分布，求 X 的标准差 σ。
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.3, 0.25, 0.35, 0.1
σ =
4.概率困难
一份测试有 6 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.6，相互独立。恰好答对 3 题的概率 P 是多少？
n = 6p = 0.6k = 3
P =
5.正态分布中等
成年男性的身高服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。介于 174.85 和 190.95 cm 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 178σ = 7x1 = 174.85x2 = 190.95
P =
6.正态分布困难
成年男性的身高服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。求数值 x，使得有 20% 的数据低于它（第 20 百分位数）。
μ = 178σ = 7P = 20%
x = cm
7.置信区间中等
测量 7 名患者治疗前后的血压。差值 d = 治疗前 − 治疗后 (mmHg) 的均值为 −10，标准差为 1.7。 求平均差值的 95% 置信区间的下限。
n = 7d̄ = −10sd = 1.795%t(6) = 2.447
下限 = mmHg
8.置信区间困难
总体标准差为 15。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 1.5？
σ = 15E = 1.590%
n =
9.假设检验与置信区间中等
9 名员工在培训课程前后各参加一次打字测试。记录每人的差值 d = 培训后 − 培训前（每分钟字数）。平均差值为 10.79，差值的标准差为 8.3。求 H₀: μd = 0 的配对检验统计量 t。
n = 9d̄ = 10.79sd = 8.3
t =
10.假设检验与置信区间困难
在一项试验中，接受治疗 A 的 250 名患者中有 63 人康复，接受治疗 B 的 300 名患者中有 60 人康复。用合并比例求 H₀: p₁ = p₂ 的检验统计量 z。
x₁ = 63n₁ = 250x₂ = 60n₂ = 300
z =
11.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 求最小二乘直线的决定系数 r²。
n = 5
r² =
12.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 预测 x = 3 时的 ŷ。
n = 6x = 3
ŷ =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 14.71
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 258/6 = 43
离差平方
Σ(x − x̄)² = 12² + (−12)² + (−21)² + 9² + 16² + (−4)² = 1082
标准差
s = √(1082/5) = 14.71
答案
s = 14.71
2.描述统计
答案: z = −1.5
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (40 − 70)/20 = −1.5
答案
z = −1.5
3.概率
答案: σ = 9.937
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 10·0.3 + 20·0.25 + 30·0.35 + 40·0.1 = 22.5
平方的均值
E(X²) = 100·0.3 + 400·0.25 + 900·0.35 + 1600·0.1 = 605
方差
Var(X) = 605 − 22.5² = 98.75
σ = √98.75 = 9.937
答案
σ = 9.937
4.概率
答案: P = 0.2765
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
二项分布公式
P(X = 3) = 20·0.63·0.43 = 20·0.216·0.064 = 0.2765
答案
P = 0.2765
5.正态分布
答案: P = 0.6415
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (174.85 − 178)/7 = −0.45
z₂ = (190.95 − 178)/7 = 1.85
中间面积
P = Φ(1.85) − Φ(−0.45) = 0.9678 − 0.3264 = 0.6415
答案
P = 0.6415
6.正态分布
答案: x = 172.1 cm
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.2 → z = −0.8416
换算回 x
x = 178 + −0.8416·7 = 172.11 cm
答案
x = 172.11 cm
7.置信区间
答案: 下限 = −11.57 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
临界值
df = 6, t = 2.447
误差范围
E = 2.447·1.7/√7 = 1.572
区间
−10 ± 1.572 → [−11.57, −8.428]
答案
下限 = −11.57 mmHg
8.置信区间
答案: n = 271
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (1.645·15/1.5)² = 270.6
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 271
答案
n = 271
9.假设检验与置信区间
答案: t = 3.9
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
平均差值的标准误
SE = 8.3/√9 = 2.767
检验统计量
t = 10.79/2.767 = 3.9
答案
t = 3.9
df = 8 时，双侧 5% 的临界值为 2.306；|t| 更大，所以拒绝 H₀。
10.假设检验与置信区间
答案: z = 1.457
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
样本比例
p̂₁ = 63/250 = 0.252
p̂₂ = 60/300 = 0.2
p̂ = 123/550 = 0.2236
H₀ 下的标准误
SE = √(0.2236·0.7764·(1/250 + 1/300)) = 0.03568
检验统计量
z = (0.252 − 0.2)/0.03568 = 1.457
答案
z = 1.457
|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
11.线性回归与相关
答案: r² = 0.8804
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 79/5 = 15.8
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −27
Syy = Σ(y − ȳ)² = 82.8
决定系数
r² = −27²/(10·82.8) = 0.8804
答案
r² = 0.8804
y 的变异中约有 88.04% 可由该直线解释。
12.线性回归与相关
答案: ŷ = 6.886
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 90/6 = 15
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 142
回归直线
b = 142/70 = 2.029
a = 15 − 2.029·7 = 0.8
ŷ = 0.8 + 2.029·x
预测
ŷ = 0.8 + 2.029·3 = 6.886
答案
ŷ = 6.886
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