描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：16, 56, 55, 49, 37, 22。
n = 6
s =
2.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 50，标准差为 15。数值低于 80 的比例 P 是多少？
μ = 50σ = 15x = 80
P =
3.概率中等
一颗均匀骰子掷 5 次。至少掷出一次六点的概率 P 是多少？
n = 5
P =
4.概率困难
X 的分布如图所示，Y = −2X + 20。求 Y 的标准差 σY。
x: 0, 1, 2p(x): 0.3, 0.35, 0.35Y = −2X + 20
σY =
5.正态分布中等
箱子的质量相互独立，服从均值 12 kg、标准差 0.8 kg 的正态分布。求其中 8 个的总质量低于 94.9 kg 的概率 P。z 取两位小数。
μ = 12 kgσ = 0.8 kgn = 8< 94.9 kg
P =
6.正态分布困难
配送时间服从正态分布，均值为 32 min，标准差为 6 min。求数值 x，使得有 5% 的数据低于它（第 5 百分位数）。
μ = 32σ = 6P = 5%
x = min
7.置信区间中等
一个包含 15 个个体的样本，均值为 73，标准差 s = 10.5。总体近似服从正态分布。 求均值的 99% 置信区间的下限。
n = 15x̄ = 73s = 10.599%t(14) = 2.977
下限 =
8.置信区间困难
总体标准差为 33。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 1？
σ = 33E = 190%
n =
9.假设检验与置信区间中等
25 名学生的样本平均分为 102.4，样本标准差为 10。求 H₀: μ = 100 的检验统计量 t。
μ₀ = 100x̄ = 102.4s = 10n = 25
t =
10.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.05 下，用容量为 64 的样本对 H₀: μ = 80 与 H₁: μ > 80 进行单侧 z 检验；已知标准差为 12。实际上均值为 82.25。 求第二类错误的概率 β，以百分比表示。
μ₀ = 80μ = 82.25σ = 12n = 64α = 0.05
β = %
11.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。
n = 6Σx = 21Σy = 101Σx² = 91Σy² = 1839Σxy = 306
r =
12.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 114？
n = 6ŷ = 114
x =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 17.13
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 235/6 = 39.17
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−23.17)² + 16.83² + 15.83² + 9.833² + (−2.167)² + (−17.17)² = 1467
标准差
s = √(1467/5) = 17.13
答案
s = 17.13
2.描述统计
答案: P = 0.9772
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = 2
标准正态分布表
Φ(2) = 0.9772
P = 0.9772
答案
P = 0.9772
3.概率
答案: P = 0.5981
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
补事件
P(没有六点) = (5/6)5 = 0.4019
P = 1 − 0.4019 = 0.5981
答案
P = 0.5981
4.概率
答案: σY = 1.609
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
X 的离散程度
μ = 1.05, Var(X) = 0.6475, σX = 0.8047
线性变换
σY = |−2|·0.8047 = 1.609
答案
σY = 1.609
均值确实会改变：E(Y) = −2·1.05 + 20 = 17.9。
5.正态分布
答案: P = 0.3121
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
总和的分布
μT = 96 kg, σT = 0.8·√8 = 2.263 kg
标准化
z = (94.9 − 96)/2.263 = −0.49
概率
P = Φ(−0.49) = 0.3121
答案
P = 0.3121
6.正态分布
答案: x = 22.13 min
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.05 → z = −1.645
换算回 x
x = 32 + −1.645·6 = 22.13 min
答案
x = 22.13 min
7.置信区间
答案: 下限 = 64.93
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 14, t = 2.977
误差范围
E = 2.977·10.5/√15 = 8.071
区间
73 ± 8.071 → [64.93, 81.07]
答案
下限 = 64.93
8.置信区间
答案: n = 2947
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (1.645·33/1)² = 2947
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 2947
答案
n = 2947
9.假设检验与置信区间
答案: t = 1.2
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 10/√25 = 10/5 = 2
检验统计量
t = (102.4 − 100)/2 = 1.2
答案
t = 1.2
t0.025; df = 24 = 2.064
|t| < 2.064，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
10.假设检验与置信区间
答案: β = 55.76 %
检验功效：功效 = 1 − β，是 H₀ 为假时拒绝 H₀ 的概率。由 μ₀ 和 z_α 求出临界值 x̄c，再用真实均值计算落在 x̄c 以外的概率：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
临界样本均值
SE = 12/√64 = 1.5
x̄c = 80 + 1.645·1.5 = 82.47
真实均值下的 z
z = (82.47 − 82.25)/1.5 = 0.145
第二类错误
功效 = P(Z > 0.145) = 44.24%
β = 100% − 44.24% = 55.76%
答案
β = 55.76%
11.线性回归与相关
答案: r = −0.9637
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
中心化后的和
Sxy = 306 − 21·101/6 = −47.5
Sxx = 91 − 21²/6 = 17.5
Syy = 1839 − 101²/6 = 138.8
相关系数
r = −47.5/√(17.5·138.8) = −0.9637
答案
r = −0.9637
12.线性回归与相关
答案: x = 21.07
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 138/6 = 23
ȳ = 747/6 = 124.5
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 381
回归直线
b = 381/70 = 5.443
a = 124.5 − 5.443·23 = −0.6857
ŷ = −0.6857 + 5.443·x
解出 x
x = (114 − (−0.6857))/5.443 = 21.07
答案
x = 21.07
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